Die Familie der (konvexen) Deltaeder


Definition Bei den Deltaedern handelt es sich um konvexe Körper, deren Oberflächen ausschließlich aus gleichseitigen Dreiecken gebildet werden. Ihre Benennung erfolgte nach dem griechischen Buchstaben Delta, der die Form eines solchen Dreiecks besitzt.

Besteht die Oberfläche eines Deltaeders aus f derartigen Dreiecken, so besitzen diese insgesamt 3*f Seiten. Von diesen bilden je zwei eine Kante des Deltaeders, so daß k = 3*f/2 Kanten auftreten. Also muß f eine gerade Zahl größer als 2 sein. Da in einer Ecke eines Deltaeders wegen seiner Konvexität mindestens drei und höchstens fünf Dreiecke zusammenstoßen können, besitzt das Deltaeder aus der kleinsten Anzahl von Dreiecken nur Ecken aus drei Dreiecken und es handelt sich um ein Tetraeder (f = 4). Das Deltaeder aus der größten Anzahl von Dreiecken besitzt nur Ecken aus fünf Dreiecken und es handelt sich um ein Ikosaeder (f = 20).

Bezeichnet en die Anzahl der Ecken, an denen n Dreiecke zusammenstoßen, so gilt für die Gesamtanzahl der Ecken

e = e3 + e4 + e5

und wenn man sämtliche Ecken in allen f Dreiecken zählt

3*f = 3*e3 + 4*e4 + 5*e5.

Hierin ist nach den obigen Überlegungen 3*f gerade und dasselbe gilt für 4*e4. Also ist die rechte Seite genau dann ebenfalls gerade, wenn e3 + e5 gerade ist.

Schließlich muß nach der Eulerschen Polyederformel für jedes konvexe Polyeder noch gelten e + f - k = 2, woraus e = 2 + f/2 folgt.

Läßt man jetzt f in Zweierschritten von 4 bis 20 laufen und zerlegt e = 2 + f/2 gemäß e = e3 + e4 + e5 auf alle möglichen Arten in drei Summanden, die alle oben genannten Bedingungen erfüllen, so erhält man die folgende Liste.

f e e3 e4 e5
4 4 4 0 0
6 5 3 1 1
6 5 2 3 0
8 6 3 0 3
8 6 2 2 2
8 6 1 4 1
8 6 0 6 0
10 7 2 1 4
10 7 1 3 3
10 7 0 5 2
12 8 2 0 6
12 8 1 2 5
12 8 0 4 4
14 9 1 1 7
14 9 0 3 6
16 10 1 0 9
16 10 0 2 8
18 11 0 1 10
20 12 0 0 12

Im Jahre 1947 zeigten H. Freudenthal und B. L. van der Waerden, daß sich nur für die rot hervorgehobenen Kombinationen Deltaeder konstruieren lassen, die dann jeweils eindeutig bestimmt sind. Dabei kann man sehr schnell einsehen, daß die Bedingung e3>0 nur auf das Tetraeder und die trigonale Dipyramide führt, indem man eine räumliche Ecke aus drei gleichseitigen Dreiecken konstruiert und dann versucht, weitere gleichseitige Dreiecke unter der Beachtung der Konvexität hinzuzufügen. Einzig der Unmöglichkeitsbeweis für die Existenz eines konvexen Deltaeders aus 18 Dreiecken erfordert mehr Mühe:

Beginnt man die Konstruktion eines derartigen Deltaeders mit der einzigen Ecke A, in der vier Dreiecke zusammenstoßen, so erhält man vier weitere Eckpunkte B, C, D, E, in denen folglich jeweils fünf Dreiecke zusammenstoßen müssen (vgl. das folgende Bild). Dies führt zu weiteren Punkten F, G, H, I, von denen je zwei benachbarte Punkte auch wirklich verschieden sein müssen, um die 5-Wertigkeit der Ecken B, C, D, E zu garantieren. Nun ist aber auch die Identifikation von F mit H unmöglich, da sich sonst eine 6-wertige Ecke F=H einstellen würde. Analog folgt, daß G und I verschieden sind. Also sind alle Punkte F, G, H, I verschieden voneinander und außerdem 5-wertig. Daher geht noch von jeder dieser Ecken genau eine weitere Kante aus, etwa bis zu Ecken F', G', H', I'. Nun muß aber F' = G' sein, da an die Kante FG genau ein Dreieck mit den anderen Seiten FF' und GG' stößt. Wiederholung dieses Argumentes zeigt, daß die vier Ecken F', G', H', I' zu einer Ecke, etwa J zusammenfallen müssen. Diese Ecke muß nun aber auch 5-wertig sein und daher noch mit genau einem weiteren Punkt durch eine Kante verbunden sein. Hierfür kommt keiner der bisher eingeführten Punkte in Frage, da sie schon alle ihre korrekte Wertigkeit besitzen. Es kann sich also nur um den noch fehlenden 11ten Punkt K handeln. Aber dieser kann durch keine weitere Kante mehr mit einem der anderen Punkte verbunden sein, da diese, wie gesagt, bereits ihre korrekte Wertigkeit besitzen. Daher ist die beabsichtigte Konstruktion unmöglich.

Die Bilder der konvexen Deltaeder sind in derselben Reihenfolge wie oben

f=4 Tetraeder

f=6 Trigonale Dipyramide

f=8 Oktaeder

f=10 Pentagonale Dipyramide

f=12 Erweiterte pentagonale Dipyramide

f=14 Tripyramidales trigonales Prisma

f=16 Bipyramidales tetragonales Antiprisma

f=20 Ikosaeder

Verzichtet man bei der Definition der Deltaeder auf die Forderung der Konvexität, so gibt es bereits unendlich viele nicht konvexe Deltaeder, die man aus Ketten von Tetraedern und Oktaedern bilden kann. (Eine sehr hübsche Darstellung einer Welt, in der die Gebäude statt aus Quadern ausschließlich aus Tetraedern und Oktaedern aufgebaut sind, findet man in der Lithographie Plattwürmer des niederländischen Grafikers M. C. Escher.)

Eine Java-animierte Darstellung der Deltaeder ist hier zu finden.