Dodekaeder

Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel des Dodekaeders und des Radius r der in das Dodekaeder einbeschriebenen Kugel legt man eine Schnittebene durch zwei Kanten des Dodekaeders, die einander gegenüberliegen. Die Ecken dieser Dodekaederkanten seien E1 und E2 bzw. E3 und E4. Außerdem schneidet diese Ebene zwei weitere Kanten des Dodekaeders in deren Mittelpunkten M1 und M2. Offensichtlich liegt auch das Zentrum Z des Dodekaeders in dieser Schnittebene. Die Ebene schneidet die Oberfläche des Dodekaeders also in zwei Kanten und in vier Höhen von Fünfecksflächen. Diese Höhen haben die Länge h = a/2*sqrt(5 + 2*sqrt(5)). (Eine Herleitung dieser Formel kann man hier finden.)

Schließlich sei noch N der Punkt auf der Höhe M1E1, in dem die einbeschriebene Kugel die Oberfläche des Dodekaeders berührt. Die Strecke NE1 habe die Länge y, und x sei der Abstand einer Kante des Dodekaeders vom Zentrum Z.

In geeigneten rechtwinkligen Dreiecken ergeben sich daher durch Anwendung des Satzes des Pythagoras:

x2 + (x - a/2)2 = h2,

R2 = x2 + a2/4,

R2 = r2 + y2,

x2 = r2 + (h - y)2.

Aus der ersten Formel erhält man sofort

x = a/4*(3 + sqrt(5)).

Hieraus ergibt sich mit der zweiten Formel

R = a/4*sqrt(6)*sqrt(3 + sqrt(5)).

Durch Kombination der dritten und vierten Formel und Einsetzen der errechneten Werte für R und x erhält man

y = a/2*(3 + sqrt(5))/sqrt(5 + 2*sqrt(5)).

Hiermit ergibt sich schließlich aus der dritten Formel

r = a/20*sqrt(250 + 110*sqrt(5)).

Zur Bestimmung des Volumens V denkt man sich das Dodekaeder vom Zentrum Z aus in 12 gleiche Pyramiden zerlegt, deren Grundfläche gleich der Fläche des gleichseitigen Fünfecks der Seitenlänge a ist, also G = a2/4*sqrt(25 + 10*sqrt(5)), und deren Höhe der Radius r der einbeschriebenen Kugel ist. Also gilt

V = 12*(1/3)*r*G = 1/4*(15 + 7*sqrt(5))*a3.

Die Oberfläche des Dodekaeders besteht aus 12 gleichseitigen Fünfecken der Seitenlänge a, also

O = 12*G = 3*sqrt(25 + 10*sqrt(5))*a2.