Spiralen ("Schneckenlinien") bei

Albrecht Dürer

Überblick

In seiner aus vier Büchern bestehenden "Underweysung der messung mit dem zirckel un richtscheyt..." gibt Albrecht Dürer im ersten Büchlein u. a. verschiedene Konstruktionen für (von ihm so genannte) Schneckenlinien an. Dabei handelt es sich nach heutiger Bezeichnungsweise um Spiralen. Unter diesen kommt auch die Archimedische Spirale vor. Diese wird in mehreren Varianten konstruiert und ihre künstlerischen Anwendungsmöglichkeiten werden angedeutet. Weiterhin beschreibt er die Konstruktion einer konischen Spirale und einer Schraubenlinie. Zum Abschluß seiner Betrachtungen geht er auch auf die Logarithmische Spirale ein, die er "ewige linie" nennt.


Erste Konstruktion

Zuerst gibt Dürer eine Näherungskonstruktion für die Archimedische Spirale an. Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Näherungskonstruktion, bei der eine Archimedische Spirale aus Kreisbogenstücken angenähert wird. Diese Bogenstücke stammen von Kreisen mit verschiedenen Radien und Zentren. Bei Dürer handelt es sich jeweils um Halbkreise mit zwei einander abwechselnden Zentren.

Aber erstlich will ich ein schnecken lini/mit dem zirkel zyhen/auff einer ebne/dann es wirdet sich der planus oder ebne/stettigs müssen brauchen lassen/es sey umb der lini oder Corpus willen/Dise schneckenlini reiß ich also/ich mach ein auffrechte lini die sey oben .a unden .b. die theyl ich mit dreyen punckten .c.d.e/in vier gleiche felt/Darnach teyl ich .d.e. mit eine punckten .f. in zwey gleiche felt/darnach setz ich auff die recht seytten der lini ein .g. auff die link ein .h. darnach nym ich ein zirckel/und setz in mit dem einen fuß in den punckten .d. unnd mit dem andern in den punckten .a. und reiß auff die seyten .h. byß unden in den punckten.b. Darnach nym ich den zirckel und setz in mit dem ein fuß in den punckten .f. und mit dem andern in den punckten .c. unnd reyß gegen der seyten .g. byß unden in den punckten .b. Aber nym ich den zirckel/setz in mit dem ein fuß in den punckte d. und reiß gegen der seyten .h.mit dem andern fuß auß dem punckten .c. byß in den punckten .e. Darnach setz ich den zirckel mit dem einen fuß in den punckten .f. und den andern in den punckten .d. unnd reiß von dann auff die seyten .g. byß in den punckte .e. Darnach setz ich den zirckel auff die lini .a.b. mit dem einen fuß/mitten zwischen .d.f. und den anderen fuß setz ich in den punckten .d. und reiß von dann auff die seytten .h. byß in den punckten .f. Also ist dise lini vertig/und ist zuvil dingen gebreuchlich und under andern/ist sie zu einem horneiffen/an ein capitel nützlich/Und das destbaß zuversteen/hab ich zwüe gerad zwerchlini hie unden auffgeryssen/auß den zweyen punkte .a.c. und von der schnecken lini hyndersich getzogen.

Dürer beschreibt hier, wie er eine "Schneckenlinie" mit dem Zirkel in einer Ebene zieht. Er beginnt mit einer senkrechten Linie ab, welche er in vier gleiche Teile teilt. Die Zwischenpunkte bezeichnet er mit c, d und e. Weiterhin bezeichnet er den Mittelpunkt des Teilstücks de mit f. Die rechte Seite der gesamten Linie nennt er g und die linke Seite h. Danach schlägt er um d den Halbkreis über ab zur Seite h hin und um f den Halbkreis über bc zur Seite g. Anschließend schlägt er um d den Halbkreis über ce zur Seite h und um f den Halbkreis über de zur Seite g. Der letzte Konstruktionsschritt besteht in der Einzeichnung des Halbkreises über df um ihren Mittelpunkt zur Seite h hin. (Dieser letzte Schritt gehört eigentlich nicht mehr zur systematischen Konstruktion, da er die sonst konstante Breite der einzelnen Windungen der Spirale zerstört. Dürer hat ihn wohl aus "künstlerischen" Gründen hinzugefügt, da sonst das Zentrum optisch ziemlich "leer" wirkt. Gleichfalls aus künstlerischen Gründen fügt er an die letzte Windung zwei parallele Geraden an, wohl um anzudeuten, wie man diese "Schneckenlinien" zur Konstruktion des Kopfes einer ionischen Säule benutzen kann.)


Zweite Konstruktion

Als zweites beschreibt Dürer die exakte Konstruktion von einzelnen Punkten einer Archimedischen Spirale, die anschließend mit freier Hand verbunden werden müssen.

Nun will ich ein andre schnecken lini/ und einer andern weiß zihen/ die in vil dingen zu brauchen und fast nützlich ist/ wirdet auch vil darauß erlernt/ sie ist auch an der vorigen lini stat zu brauchen/ iren anfang nym ich auß dem mittel punckten/ von dan geet ir leng in die weyten/ so fern man will/ doch bleybt ir felt/ zwischen der uberlegung der linie alweg gleich weit darzwischen/ allein im ersten umlauff nit/ aber dise schneckenlini/ mach ich also ich setz ein punckten .a und reiß ein zirkelris darum so weit ich die schnecken lini will lauffen lassen/ Und teyl dise runde lini mit 12. punckten in .12. gleiche felt/ darnach reiß ich aus dem Centro .a. ein gerade lini ubersich byß an den runden ryß der ende sei .b. in denselben punckten setz ich .12. unnd heb die teylung der punckten des runden ryß an zu zelen gegen der lincken hand /1/2/3/etc byß herum auff die 12. Aber die gerad lini .a.b. teyl ich mit .23. punckten in .24. gleiche felt und heb am .a. an zu zellen /1/2/3/etc Darnach nym ich ein gerad richtscheyt und stich die punckten der itzt gemelten lini .a.b. darauf und bezeychens mit iren zyffern/ und leg das bey der myndern zal mit dem ein ort .a. auff den Centrum .a. und/ mit dem ort .b. auff den zirckelryß auff den punckten .i. unnd wo dann das richtscheyt mit seim punckten .i. hyn zeyge da setz ich auch ein punckten .i. Also far ich zu ring herumb zu allen zalen im zirckelryß und laß allweg das richtscheyt im Centro .a. stet bleiben/ so werden die punckten des richtscheyt alle punckte der schneckenlini antzeygen durch die tzal wo man sie hyn setzen soll/ Darumb merck eben auff die zal so kanst du nit irre werden/ Aber so die lini zwyfach uber einander laufft/ und im zirckelriß nun /12/ stett/ aber im umlauffeten richtscheyt .23. so hab acht das die zal des richtscheytz ordentlich farge/ dann zu der zal .i. kumbt .13. auff /2/14/3/15/4/16/5/17/6/18/7/19/8/20/9/21/10/22/11/23/ man mag auch dise lini vilfeltig ubereinander zihen/ wer seyn bedarff/ der mehr die zal im richtscheyt mit den punckten/ und laß die punckten im zirckelryß ungeendert/ dise schnecken lini ist hiebey also auff geryssen mit allen zyffern

Dürer beginnt also mit einem großen Kreis um ein Zentrum a. Diesen Kreis teilt er in 12 gleiche Teile (was mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar ist). Den Radius von a zum "obersten" Teilungspunkt, den er b und gleichzeitig 12 nennt, zeichnet er ein. Die weiteren Teilungspunkte des Kreises numeriert er entgegen dem Uhrzeigersinn von 1 bis 11. Den Radius von a nach b teilt er in 24 gleiche Teile und benennt die Teilungspunkte von a ausgehend mit den Zahlen von 1 bis 23. Diese Teilung überträgt er nun auf ein Lineal und trägt nun jeweils von a aus in Richtung der Teilpunkte 1 bis 12 des Kreises Strahlen der Längen 1 bis 12 (auf dem Lineal) ab. Anschließend trägt er in der gleichen Weise wiederum in Richtung der Teilpunkte 1 bis 12 Strahlen der Längen 13 bis 23 ab. Die Endpunkte der Strahlen numeriert er von 1 bis 23. Zusammen mit a und b bilden sie die Punkte der konstruierten "Schneckenlinie". Diese Konstruktion ist in der unten stehenden Zeichnung zu sehen. Dürer weist noch darauf hin, daß man diese Spirale nach außen beliebig verlängern kann, indem man weitere Teilstücke der Strecke ab auf dem Lineal einzeichnet und weitere Strahlen in Richtung der Teilpunkte des Kreises abträgt.

Da die Länge der abgetragenen Halbstrahlen proportional ist zum Winkel, den der Halbstrahl mit der Strecke ab bildet, genügt die Kurve der Gleichung r = c*t, d. h. es handelt sich um eine Archimedische Spirale. Wählt man den Radius des Ausgangskreises, also die Länge der Strecke ab als 1, so wird r = 1 für t = 4*pi (nach zwei vollen Umläufen). Daher ist c = 1/(4*pi).


Abänderung der Archimedischen Spirale

Jetzt erklärt Dürer eine Konstruktion, mit deren Hilfe er eine nichtlineare Einteilung auf dem Lineal erzeugt. Diese Einteilung benutzt er dann u. a. zur Konstruktion eines neuen Spiralentyps, den er aber wohl als Variante der Archimedischen Spirale ansieht.

Nun will ich dise egemachte schneckenlini/noch ein mal verendern/durch das puncktirt richtscheydt .a.b. darauß die schneckenlini gemacht wirdet/die mus man anderst dann vor puncktirn/das geschicht durch zweyerley linien/einer krumen und geraden/die da zusamen gesetzt werden/da eine durch die andern gemessen wirdet/und eine der andern ungleich/doch vergleichlich/wie woll durch ungleych teyl die mach ich also/Ich reiß einn auffrechte lini/als lang das richtscheydt ist damit ich die schneckenlini mach/die sey oben .b. unden .a. Darnach reiß ich ein zwerchlini .c.d. also das die auffrecht mit dem punkte .a. gerad zu gleichen wincklen darauff stehe/Darnach reiß ich ein gerade ortlini .d.b. un nym ein zirckel und setz in mit dem ein fuß in den punckten .d. und mit dem andern fuß in den punckten .a. und reiß von dann rund ubersich byß in den ort strich .d.b. und wo sie die an rürt da setz ich punckten .e/ Darnach theyl ich diese krume lini .a.e mit .23. in punckte in .24. gleiche felt/und reis auß dem punckten .d. gerad lini durch all punckten in .a.e. byß in die gestrackt lini .a.b. Und wo dise linien die lini .a.b. durch schneiden/die selben punckt betzeichen ich mit zyffern/unnd heb oben under dem .b. an zu zelen/1/2/3/4/etc./byß herab zum .a. aus dem erscheindt wie sich die fellt zwischen den punckten ubersich erweytern/unnd unden herab enger werden/Dyß punckten stich ich auff eyn richtscheidt/das ich in der arbeyt im umblauffen brauchen will/ Solche zu rüstung hab ich hie unden auffgeryssen und merck sonderlich das aus disem stück vill zu machen/das hie nit angetzeigt ist/ Dise schnecken lini laufft nit parweis ubereinander.

In der nächsten Konstruktion will Dürer die eben gezeichnete Archimedische Spirale verändern. Hierzu benötigt er eine andere, nicht lineare Einteilung auf seinem Lineal. Um dies zu erreichen zeichnet er eine gerade Linie ab, die senkrecht auf einer horizontalen Linie cd steht. (Dabei ist der Punkt a etwa der Mittelpunkt von cd.) Er verbindet b geradlinig mit d und schneidet den Kreis um d vom Radius ad mit dieser Strecke bd. Der Schnittpunkt sei e. Nun teilt er den Kreisbogen ae in 24 gleiche Teile (was mit Zirkel und Lineal allerdings nicht immer exakt möglich ist!) und legt durch die Teilpunkte und d Geraden, deren Schnittpunkte mit ab diese Strecke in 24 ungleiche Teile teilen. Diese nichtlineare Einteilung benutzt er nun anstelle der linearen Einteilung auf dem Lineal in der oben beschriebenen Konstruktion der Archimedischen Spirale, um eine neue Art von Spirale zu zeichnen, bei der die Windungen zum Zentrum hin enger verlaufen als weiter außen.

Jetzt beschreibt Dürer die Konstruktion seiner Variante der Archimedischen Spirale.

Wiltu aber aussen zwischen der schnecken lini die felt noch mehr erweytern/und hynein enger machen/so leyn die auffrecht lini .a.b. oben mit dem .b. gegen dem punckten .c. und reis darnach die ortlini .d.b. wider zusamen/so wirdt der zirkelris .a.e. kürtzer/Darnach theyl allding von newen wider ein wie vor so finstu in der arbeyt eyn gros endung/solchs ist auch oben im auffreissen zum theil antzeigt/So nun die verendert lini .a.b. mit iren punckten auff das richtscheidt gestoche wirdet/alßdan reis ein runden zirckelris darin dein richtscheidt unde mit dem punckten .a. den Centrum/und oben mit dem punckten .b. den zirckelris anrür/und setz oben anff den punckten .b.12. unnd nym den gebrauch wie vor in der negsten schneckenlini angetzeigt/Doch wie du vor auß dem Centro heraus geloffen bist/also lauff itzt von dem eussern zirkelris hinein/ Darum setz die zyffer der punckten im zirkelris auff die ander seyten/un heb an zu zellen .1/2/3/4/etc. so sichstu den underschidt gegen der vorigen lini/der fordern ordnung gemeß auffgerissen ist/da bey du sichst wie eins hübsicher dann das ander ist.

Bevor Dürer die geplante Konstruktion der abgeänderten Archimedischen Spirale ausführt, gibt er noch einen Hinweis, wie man den oben beschriebenen Effekt der enger zusammenlaufenden Windungen der Spirale zum Zentrum hin noch verstärken kann, indem man bei der vorher angegebenen nichtlinearen Einteilung der Strecke ab diese nicht senkrecht auf die Strecke cd stellt, sondern schräg in Richtung c neigt. Bei der anschließenden Konstruktion der abgeänderten Archimedischen Spirale weist Dürer übrigens ausdrücklich darauf hin, daß nun die Numerierung der Hilfspunkte von innen nach außen erfolgt im Unterschied zur ersten Konstruktion. Da er jedoch gleichzeitig den Umlaufsinn der Hilfspunkte auf dem Kreis ändert, bleibt der Umlaufsinn der Spirale erhalten!

Ein Vergleich mit der Archimedischen Spirale der zweiten Konstruktion


Konstruktion von Normalen

Anschließend beschreibt Dürer die Konstruktion von "Normalen" zu der Archimedischen Spirale:

Item so du auff eyn schneckenlini bey allen zyffern der punckten/gerad linien stelle wilt/die sich nach ordnung schicken/So thu im also/nym eyn richtscheyt/und laß das mit einem ort an rüren den Centro .a. und den andern teyl leg an den punckten. 12. unnd reiß am richtscheydt von dannen gerade lini hyn auß/Also laß das richtscheydt mit dem eyn theyl stettigs an dem Centro .a. still sten/Aber mit dem andern theyl far zu rings herumb zue allen punckten der schneckenlini/als da ist zue/1/2/3/4/etc./und reiß gerad linien hynauß/byß du herumb kumst zu dem Zentro .a. diß sichstu hie unden auff geryssen.

In dieser Konstruktion errichtet Dürer näherungsweisen senkrechte Linien in den konstruierten Punkten 1 bis 23 der Archimedischen Spirale. Er macht dies, indem er in diesen Punkten Strecken nach außen errichtet, die auf Geraden durch das Zentrum a der Archimedischen Spirale liegen. (Dies sind jedoch nicht Normalen zur Kurve, sondern nur Normalen zu dem Kreis durch den jeweiligen Kurvenpunkt, dessen Mittelpunkt gleich dem Zentrum a ist.)


Weitere Spiralenkonstruktion

Nun gibt Dürer noch eine weitere Konstruktionen für eine ebene Spirale. Auch bei dieser handelt es sich um einen neuen Spiraltyp und nicht um eine Archimedische Spirale.

Item noch will ich leren ein eynfache schneckenlini ziehen/durch ein andern weg dan vor/dem thu also/Mach einn rechten quadranten auff deutzsch ein firteil von eym zirckel .a.b.c. unnd das/b/sey das Centrum/aber das/a/oben/und das/c/auff der seytten/Darnach teyl solch zirkeltrum mit eylff punckten in zwölff gleiche teil/un heb die zal an bey dem punckten.c/ un zeuch auß allen punckten auffrecht barlinien herab/byß in die zwerch lini .c.b. und betzeichen sie mit gleicher weyß/mit den zyffern/als das zirckeltrum und heb auch die zal an bey dem negsten punckten nach dem .c. also ist dise gerade lini .c.b. vergleichlich geteylt nach dem zirckeltrum .a.c. nun ist der erst grund zugericht Darnach reiß darunder auß einem punckten .c. ein halben zirckel/dem obern quadranten gleich förmig/also das die gerade lini die den halben zirckel von eynander schneidt/auffrecht sey oben .a. unden b. und das Centrum .c. in der mitt. Darnach teil die halbe zirckellini mit eylff punckten in zwölff gleiche felt/und heb die zal oben bey dem .a. an zuzelen/darnach zeuch gerad linien/auß allen punckte der zalen in den punckten .c/Darnach zeuch stram lini auß dem Centro .c. in all punckte der zal/darnach nym ein zirckel/un setz in in den obere quadranten mit dem ein fuß in das Centrum .b. un den andern fuß setz auff der zwerch lini .c.b. in den punckten .i. und nym dise weyten mit dem zirckel/unnd trag sie herab in den halben zirckel/und setz den zirckel mit dem ein fuß ins Centru .c. und den andern fuß setz oben under dem .a. auff die auffrecht lini .a.b. und reyß von dann rund hynauß byß an die streim lini .i c. zu disem punckten so sich gibt/setz auch die zal eins/Darnach nym den zirckel wider/und setz in mit dem eyn fuß in quadranten/in das Centrum .b. unnd den anden setz auff der zwerch lini .c.b. in den punckten zwey/Und nym aber dise wyten drag sie in den undern halben zirckel/unnd setz den zirckel mit dem ein fuß in den Centrum .c. aber den andern fuß setz auff die streim lini/1/c. und reiß rund von dann zu der andern streim lini .2/5. und zu diesem punckten setz auch die zal zwey/Also thu im fürbaß zwischen allen streim linien des undern halben zirckelriß/So du nun alle vorangetzeigte weyten auß dem obern quadranten nymst/auff der zwerch lini .c.b. und tregst sie herab und betzeichens ir punckte/die da durch die zirckelryß worden sind/mit iren zugehöreten ziffern/bey den streim linien/so wirdet dir dardruch angetzeygt wie du den gang der schnecken lini von aussen der zirckellini/von dem punckten .a. in Centrum .c. füren solt/von punckt zu punckt/wie ich dan solchs hie unden hab auffgerissen/Item du magst allwegen den zirckel mit dem ein fuß der da umlaufft in der auffrechten lini .a.c.b. stellen/un von dann reissen byß zu seiner streim lini dyß zeygt etwas sonders an/wie du im auffreissen sichst.

Ein Vergleich mit der Archimedischen Spirale der zweiten Konstruktion
(Gestrichelt: Die oben beschriebene erste Variante)


Konstruktion einer Archimedischen Spirale mit drei Windungen

Item auff ein andre weiß will ich eyn schnecken lini machen mit dem zirckel also/Erstlich setz eyn Centrum .a. darauß mach ein zirckelryß/und teyl in wie vor mit 12/punckten in 12 gleiche felt/und reiß von allen punckten in Centrum .a. gerad linien/und setz die zyffer darzu/Heb zu öberst an und setz 12 darnach setz bey den punckten herum zal/1/2/3/etc. byß wider auff 12/ Darnach theyl die lini 12/a/mit 35 punckten in 36 gleiche felt/unnd heb die ziffer oben anbei dem punckten .12. herab zu zelen/1/2/3/etc. Darnach nym ein zirckel/unnd setz in mit dem einen fuß in den Centrum /a/ und den andern setz an der lini/12.a. in den punckten .1. von dann reiß krum gegen der streim lini .1.a. Darnach laß den zirckel mit dem ein fuß stetz in den Centrum .a. still steen/und verruck den andern fuß auff der streim lini .12.a. in den andern punckten 2/unnd reiß damit ein runden/zwischen den zweyen streim linien/1/a/ und/2/a/Also verruck den ein fuß des zirckels auff der streim lini 12.a. allweg umb ein grad/und reiß mit nach ordnung rund ryß zwischen allen streim linien/bis daß zum dritten mal herum kumbst/Also wirdet der zirckel durch das verrucken yhe mehr ye enger/byß das er schyr zum Centrum a kumbt/So das mit dem zirckel alß gethan ist/alßdann zeuch die schnecken lini von punck zu punckt/heb bey dem punckten 12 in der zirkellini an/unnd far zum drytten mal herum bis das du zum Centrum .a. kumbst/wie ich dann das hab auffgeriessen/mit allen nöttigen linien dardurch sie gemacht wirdt/und darnach lauter wie sie in ir selbs getzogen ist/neben eynander gestellt.

Dürer beginnt wie bei seiner zweiten Konstruktion mit einem Kreis um einen Mittelpunkt a, den er durch 12 Halbstrahlen in 12 gleiche Teile einteilt. Die auf dem Kreis liegenden Schnittpunkte mit den Halbstrahlen numeriert er wie auf dem Zifferblatt einer Uhr von 1 bis 12. Anschließend teilt er die Strecke vom Punkt 12 zum Zentrum a durch 35 Zwischenpunkte in 36 gleiche Teile. Die Zwischenpunkte numeriert er von außen nach innen mit 1 bis 35. Anschließend schlägt er mit dem Zirkel einen Kreisbogen mit dem Radius von a zum Zwischenpunkt 1 in dem Kreissektor zwischen den Teilpunkten 12 und 1 auf dem Kreis. So verfährt er nach und nach mit allen Zwischenpunkten und den entsprechenden Kreissektoren, wobei in jedem Kreissektor insgesamt drei Kreisbögen konstruiert werden. Um die eigentliche Archimedische Spirale zu erhalten, verbindet er zum Schluß die auf den Halbstrahlen gefundenen Zwischenpunkte freihändig.

Wie bei der zweiten Konstruktion handelt es sich um eine Archimedische Spirale mit der Gleichung r = c*t. Wählt man wiederum den Radius des Ausgangskreises als 1, so wird r = 1 für t = 6*pi (nach drei vollen Umläufen). Also ist c = 1/(6*pi).


Konstruktion einer Archimedischen Spirale mit 1 1/3 Windungen

Item noch will ich ein schneckenlini ziehen/reiß auß eim Centrum .a. eyn gantzen zirckelryß/und theil in mit .6/punckten in 6 gleiche feld/unnd setz die zal darzu/also das 6 oben stee unnd zeuch auß allen punckten der zirckellini streim linien in Centrum .a. Darnach theil die lini .6.a. mit .7. punckten in 8 gleiche felt/darnach thue im wie vor/nym eyn zirckel unnd setz in mit dem eynn fuß in den Centrum a und den andern setz in den punckten .j. in der streim lini .j.a. also thu im für und für durch die zal all/wie du das ab zunemen hast aus der vorigen schnecken lini/solchs hab ich auch hie nach auffgeryssen mit allen nöttigen beystrychen und ledig.

Hier variiert Dürer die vorhergehende Konstruktion, indem er den Kreis in nur 6 gleiche Teile einteilt und den Radius in 8. In der anschließenden freihändigen Zeichnung ändert er die Spirale (offenbar aus optischen Gründen) in der Nähe des Zentrums beim Punkt 7 allerdings geringfügig ab, so daß seine Spirale dann 1 1/2 statt 1 1/3 Windungen hat.

Wie bei der zweiten und der unmittelbar vorhergehenden Konstruktion handelt es sich um eine Archimedische Spirale mit der Gleichung r = c*t. Da hier der Radius den Wert r = 1 nach 1 1/3 Umläufen, also für 4/3*2*pi = 8/3*pi, annimmt, ergibt sich jetzt der Wert von c = 3/(8*pi).