Sophie-Germain-Primzahlen



Eine Primzahl p bezeichnet man nach der französischen Mathematikerin Sophie Germain als Sophie-Germain-Primzahl oder Germainsche Primzahl, wenn auch 2p+1 eine Primzahl ist.

Die folgende Liste enthält die 190 Sophie-Germain-Primzahlen unterhalb von 10.000.

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131
173 179 191 233 239 251 281 293 359 419 431 443
491 509 593 641 653 659 683 719 743 761 809 911
953 1013 1019 1031 1049 1103 1223 1229 1289 1409 1439 1451
1481 1499 1511 1559 1583 1601 1733 1811 1889 1901 1931 1973
2003 2039 2063 2069 2129 2141 2273 2339 2351 2393 2399 2459
2543 2549 2693 2699 2741 2753 2819 2903 2939 2963 2969 3023
3299 3329 3359 3389 3413 3449 3491 3539 3593 3623 3761 3779
3803 3821 3851 3863 3911 4019 4073 4211 4271 4349 4373 4391
4409 4481 4733 4793 4871 4919 4943 5003 5039 5051 5081 5171
5231 5279 5303 5333 5399 5441 5501 5639 5711 5741 5849 5903
6053 6101 6113 6131 6173 6263 6269 6323 6329 6449 6491 6521
6551 6563 6581 6761 6899 6983 7043 7079 7103 7121 7151 7193
7211 7349 7433 7541 7643 7649 7691 7823 7841 7883 7901 8069
8093 8111 8243 8273 8513 8663 8693 8741 8951 8969 9029 9059
9221 9293 9371 9419 9473 9479 9539 9629 9689 9791    

Die größten zur Zeit bekannten Sophie-Germain-Primzahlen sind

Primzahlen, die keine Germainschen Primzahlen sind

Sei q=2k+1 eine Primzahl und p>q ebenfalls prim mit p=k mod q, d.h. p-k=n*q. Dann hat 2p+1=2(n*q+k)+1=2nq+2k+1=(2n+1)q den Primteiler q und folglich ist p keine Germainsche Primzahl.

Ist umgekehrt die Primzahl p keine Germainsche Primzahl, so besitzt die ungerade Zahl 2p+1 einen kleinsten Primteiler q, der ebenfalls ungerade sein muß, also von der Form q=2k+1 ist. Es gilt daher 2p+1 = q(2n+1) = 2nq + 2k+1 = 2(nq+k) + 1, also p=nq+k oder p=k mod q. Natürlich gilt p>q.

Folgerung: Sei p eine Primzahl, deren Dezimaldarstellung mit einer 7 endet. Für k=2, also q=2k+1 = 5, gilt dann p = k mod 5. Daher ist p keine Germainsche Primzahl, im Einklang mit der obigen Tabelle.

Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen

Die folgende Eigenschaft wurde von Euler 1750 behauptet und von Lagrange 1775 bewiesen (Einen Beweis findet man unter http://primes.utm.edu/notes/proofs/MerDiv2.html):

Satz: Sei p > 3 und p = 3 (mod 4) eine Primzahl. Genau dann ist p eine Sophie-Germain-Primzahl, wenn 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl Mp ist.

Beispielsweise ist p=11 eine Sophie-Germain-Primzahl, denn auch 2p+1 = 23 ist prim. Außerdem ist 11 = 3 mod 4. Daher ist die 11. Mersenne-Zahl M11 = 211 -1 = 2047 = 89 * 23 teilbar durch 2p+1 = 23.