13. Hilbertsches Problem:

Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung 7. Grades mittels Funktionen von nur 2 Argumenten

Die Nomographie (M. D'OCAGNE: Traite de Nomographie, Paris 1899) hat die Aufgabe, Gleichungen mittels gezeichneter Kurvenscharen zu lösen, die von einem willkürlichen Parameter abhängen. Man sieht sofort, daß jede Wurzel einer Gleichung, deren Koeffizienten nur von zwei Parametern abhängen, d. h. jede Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen auf mannigfache Weise durch das der Nomographie zugrunde liegende Prinzip darstellbar ist. Ferner sind durch dieses Prinzip offenbar auch eine große Klasse von Funktionen von drei und mehr Veränderlichen darstellbar, nämlich alle diejenigen Funktionen, die man dadurch erzeugen kann, daß man zunächst eine Funktion von zwei Argumenten bildet, dann jedes dieser Argumente wieder gleich Funktionen von zwei Argumenten einsetzt, an deren Stelle wiederum Funktionen von zwei Argumenten treten usf., wobei eine beliebige endliche Anzahl von Einschachtelungen der Funktionen zweier Argumente getattet ist. So gehört beispielsweise jede rationale Funktion von beliebig vielen Argumenten zur Klasse dieser durch nomographische Tafeln konstruierbaren Funktionen; denn sie kann durch die Prozesse der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erzeugt werden, und jeder dieser Prozesse repräsentiert eine Funktion von nur zwei Argumenten. Man sieht leicht ein, daß auch die Wurzeln aller Gleichungen, die in einem natürlichen Rationalitätsbereiche durch Wurzelziehen auflösbar sind, zu der genannten Klasse von Funktionen gehören; denn hier kommt zu den vier elementaren Rechnungsoperationen nur noch der Prozeß eines Wurzelziehens hinzu, der ja lediglich eine Funktion eines Argumentes repräsentiert. Desgleichen sind die allgemeinen Gleichungen 5. und 6. Grades durch geeignete nomographische Tafeln auflösbar; denn diese können durch solche Tschirnhausentransformationen, die ihrerseits nur Ausziehen von Wurzeln verlangen, in eine Form gebracht werden, deren Koeffizienten nur von zwei Parametern abhängig sind.

Wahrscheinlich ist nun die Wurzel der Gleichung 7. Grades eine solche Funktion ihrer Koeffizienten, die nicht zu der genannten Klasse nomographisch konstruierbarer Funktionen gehört, d. h., die sich nicht durch eine endliche Anzahl von Einschachtelungen von Funktionen zweier Argumente erzeugen läßt. Um dieses einzusehen, wäre der Nachweis dafür nötig, daß die Gleichung 7. Grades

f 7 + xf3 + yf2 + zf + 1 = 0

nicht mit Hilfe beliebiger stetiger Funktionen von nur zwei Argumenten lösbar ist. Daß es überhaupt analytische Funktionen von drei Argumenten x, y, z gibt, die nicht durch endlichmalige Verkettung von Funktionen von nur zwei Argumenten erhalten werden können, davon habe ich mich, wie ich noch bemerken möchte, durch strenge Überlegung überzeugt.