14. Hilbertsches Problem:

Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Funktionensysteme

In der Theorie der algebraischen Invarianten verdienen, wie mir scheint, die Fragen nach der Endlichkeit voller Formensysteme ein besonderes Interesse. Es ist neuerdings L. MAURER (Vgl. Sitzungsberichte der Kgl. Akademie d. Wiss. zu München 1899 und eine demnächst in den mathematischen Annalen erscheinende Arbeit.) gelungen, die von P. GORDAN und mir bewiesenen Endlichkeitssätze der Invariantentheorie auf den Fall auszudehnen, daß nicht, wie in der gewöhnlichen Invariantentheorie, die allgemine projektive Gruppe, sondern eine beliebige Untergruppe der Definition der Invarianten zugrunde gelegt wird.

Die Beschäftigung mit der Frage nach der Endlichkeit der Invarianten hat mich auf ein einfaches Problem geführt, welches jene Frage nach der Endlichkeit der Invarianten als besonderen Fall in sich enthält, und zu dessen Lösung wahrscheinlich eine erheblich feinere Ausbildung der Theorie der Elimination und der Kroneckerschen algebraischen Modulsysteme nötig ist, als sie bisher gelungen ist.

Es seien eine Anzahl m von ganzen rationalen Funktionen X1, X2, ..., Xm der Variablen x1, x2, ..., xn vorgelegt:

(S)

X1 = f1(x1,...,xn)
X2 = f2(x1,...,xn)
.............................
Xm = fm(x1,...,xn).

Jede ganze rationale Verbindung von X1,...,Xm wird offenbar durch Eintragung dieser Ausdrücke notwendig stets eine ganze rationale Funktion von x1,...,xn. Es kann jedoch sehr wohl gebrochene rationale Funktionen von X1,...,Xm geben, die nach Ausführung jener Substitution (S) zu ganzen Funktionen von x1,...,xn werden. Eine jede solche rationale Funktion von X1,...,Xm, die nach Ausführung der Substitution (S) ganz in x1,..., xn wird, möchte ich eine relativganze Funktion von X1,...,Xm nennen. Jede ganze Funktion von X1,...,Xm ist offenbar auch relativganz; ferner ist die Summe, die Differenz und das Produkt relativganzer Funktionen stets wiederum relativganz.

Das entstehende Problem ist nun zu entscheiden, ob es stets möglich ist, ein endliches System von relativganzen Funktionen von X1,...,Xm aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Funktion von X1,..., Xm in ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt. Wir können das Problem noch einfacher formulieren, wenn wir den Begriff des endlichen Integritätsbereiches einführen. Unter einem endlichen Integritätsbereich möchte ich ein solches System von Funktionen verstehen, aus welchem sich eine endliche Anzahl von Funktionen auswählen läßt, mit deren Hilfe alle übrigen Funktionen des Systems in ganzer rationaler Weise ausdrückbar sind. Unser Problem läuft dann darauf hinaus zu zeigen, daß die sämtlichen relativganzen Funktionen eines beliebigen Rationalitätsbereiches stets einen endlichen Integritätsbereich bilden.

Es liegt auch nahe, das Problem zahlentheoretisch zu verfeinern, indem man die Koeffizienten der gegebenen Funktionen f1,...,fm als ganze rationale Zahlen annimmt und unter den relativganzen Funktionen von X1,..., Xm nur solche rationalen Funktionen dieser Argumente versteht, die nach Ausführung jener Substitution (S) ganze rationale Funktionen von x1,...,xn mit ganzen rationalen Koeffizienten werden.

Ein besonderer einfacher Fall dieses verfeinerten Problems ist der folgende: Gegeben seien m ganze rationale Funktionen X1,...,Xm der einen Veränderlichen x mit ganzen rationalen Koeffizienten und ferner eine Primzahl p. Man betrachte das System derjenigen ganzen rationalen Funktionen von x, welche sich in der Gestalt

G(X1,...,Xm)/ph

darstellen lassen, wo G eine ganze rationale Funktion der Argumente X1,...,Xm und ph irgendeine Potenz der Primzahl p ist. Frühere Untersuchungen von mir (Mathematische Annalen, Bd. 36, S. 485.) zeigen dann unmittelbar, daß alle solchen Ausdrücke bei bestimmten Exponenten h einen endlichen Integritätsbereich bilden; die Frage ist aber hier, ob das gleich auch für alle Exponenten h zugleich gilt, d. h., ob sich eine endliche Anzahl von solchen Ausdrücken auswählen läßt, durch die jeder andere Ausdruck von jener Gestalt für irgendeinen Exponenten h ganz und rational darstellbar ist.