16. Hilbertsches Problem:

Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen

Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Kurve n-ter Ordnung haben kann, ist von HARNACK (Mathematische Annalen, Bd. 10) bestimmt worden; es entsteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Kurvenzüge in der Ebene. Was die Kurven 6. Ordnung angeht, so habe ich mich - freilich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach HARNACK haben kann, keinesfalls sämtlich außerhalb voneinander verlaufen dürfen, sondern daß ein Zug existieren muß in dessen Innerem ein Zug und in dessen Äußeren neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebensosehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Lage der Mäntel einer algebraischen Fläche im Raume - ist doch bisher noch nicht einmal bekannt, wieviel Mäntel eine Fläche 4. Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. (Vgl. ROHN: Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886.)

Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen, die sich, wie mir scheint, mittels der nämlichen Methode der kontinuierlichen Koeffizientenänderung in Angriff nehmen läßt und deren Beantwortung für die Topologie der durch Differentialgleichungen definierten Kurvenscharen von entsprechender Bedeutung ist - nämlich die Frage nach der Maximalzahl und Lage der Poincareschen Grenzzyklen (cycles limites) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form

wo X, Y ganze rationale Funktionen n-ten Grades in x, y sind, oder in homogener Schreibweise

wo X, Y, Z ganze rationale homogene Funktionen n-ten Grades von x, y, z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind.