17. Hilbertsches Problem:

Darstellung definiter Formen durch Quadrate

Definit heißt eine solche ganze rationale Funktion oder Form beliebig vieler Veränderlicher mit reellen Koeffizienten, die für keine reellen Werte dieser Veränderlichen negativ ausfällt. Das System aller definiten Funktionen verhält sich invariant gegenüber den Operationen der Addition und der Multiplikation; aber auch der Quotient zweier definiter Funktionen ist - sofern er eine ganze Funktion der Veränderlichen wird - eine definite Form. Das Quadrat einer jeden beliebigen Form ist offenbar stets eine definite Form; da aber, wie ich gezeigt habe (Mathematische Annalen, Bd. 32), nicht jede definite Form durch Addition aus Formenquadraten zusammengesetzt werden kann, so entsteht die Frage - die ich für den Fall ternärer Formen in bejahendem Sinne entschieden habe (Acta mathematica, Bd. 17) -, ob nicht jede definite Form als Quotient von Summen von Formenquadraten dargestellt werden kann. Zugleich ist es für gewisse Fragen hinsichtlich der Möglichkeit gewisser geometrischer Konstruktionen wünschenswert zu wissen, ob die Koeffizienten der bei der Darstellung zu verwendenden Formen stets in demjenigen Rationalitätsbereich angenommen werden dürfen, der durch die Koeffizienten der dargestellten Form gegeben ist. (Vgl. HILBERT: Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. VII, insbesondere 38.)