18. Hilbertsches Problem:

Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern

Wenn man nach denjenigen Gruppen von Bewegungen in der Ebene fragt, für die ein Fundamentalbereich existiert, so fällt bekanntlich die Antwort sehr verschieden aus, je nachdem die betrachtete Ebene eine Riemannsche (elliptische), euklidische oder Lobacevskijsche (hyperbolische) ist. Im Falle der elliptischen Ebene gibt es eine endliche Anzahl wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbreichen, und es reicht eine endliche Anzahl von Exemplaren kongruenter Bereiche zur lückenlosen Überdeckung der ganzen Ebene aus: Die Gruppe besteht eben nur aus einer endlichen Anzahl von Bewegungen. Im Falle der hyperbolischen Ebene gibt es eine unendliche Anzahl wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbreichen, nämlich die bekannten Poincareschen Polygone; zur lückenlosen Überdeckung der Ebene ist eine unendliche Anzahl von Exemplaren kongruenter Bereiche notwendig. Der Fall der euklidischen Ebene steht in der Mitte; denn in diesem Falle gibt es nur eine endliche Anzahl von wesentlich verschiedenen Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich; aber zur lückenlosen Überdeckung der ganzen Ebene ist eine unendliche Anzahl von Exemplaren kongruenter Bereiche notwendig.

Genau die entsprechenden Tatsachen gelten auch im dreidimensionalen Raum. Die Tatsache der Endlichkeit der Bewegungsgruppen im elliptischen Raum ist eine unmittelbare Folge eines fundamentalen Satzes von C. JORDAN (Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878) und Atti della Reale Accademia di Napoli 1880), wonach die Anzahl der wesentlich verschiedenen Arten von endlichen Gruppen linearer Substitutionen mit n Veränderlichen eine gewisse endliche, von n abhängige Grenze nicht überschreitet. Die Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich im hyperbolischen Raume sind von FRICKE und KLEIN in den Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen (Leipzig 1897) untersucht worden, und endlich haben FEDOROW (Symmetrie der regelmäßigen Systeme von Figuren, 1890), SCHOENFLIES (Kristallsysteme und Kristallstruktur, Leipzig 1891) und neuerdings ROHN (Mathematische Annalen, Bd. 53) den Beweis dafür erbracht, daß es im euklidischen Raume nur eine endliche Zahl wesentlich verschiedener Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich gibt. Während nun die den elliptischen und hyperbolischen Raum betreffenden Resultate und Beweismethoden unmittelbar auch für den n-dimensionalen Raum Geltung haben, so scheint die Verallgemeinerung des den Euklidischen Raum betreffenden Satzes erhebliche Schwierigkeiten zu bieten, und es ist daher die Untersuchung der Frage wünschenswert, ob es auch im n-dimensionalen euklidischen Raume nur eine endliche Anzahl wesentlich verschiedener Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich gibt.

Ein Fundamentalbreich einer jeden Bewegungsgruppe zusammen mit den kongruenten aus der Gruppe entspringenden Bereichen liefert offenbar eine lückenlose Überdeckung des Raumes. Es erhebt sich die Frage, ob ferner auch solche Polyeder existieren, die nicht als Fundamentalbereiche von Bewegungsgruppen auftreten und mittels derer dennoch durch geeignete Aneinanderlagerung kongruenter Exemplare eine lückenlose Erfüllung des ganzen Raumes möglich ist. Ich weise auf die hiermit in Zusammenhang stehende, für die Zahlentheorie wichtige und vielleicht auch der Physik und Chemie einmal Nutzen bringende Frage hin, wie man unendlich viele Körper von der gleichen vorgeschriebenen Gestalt, etwa Kugeln mit gegebenem Radius oder reguläre Tetraeder mit gegebener Kante (bzw. in vorgeschriebener Stellung) im Raume am dichtesten einbetten, d. h. so lagern kann, daß das Verhältnis des erfüllten Raumes zum nichterfüllten Raum möglichst groß ausfällt.