19. Hilbertsches Problem:

Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?

Eine der begrifflich merkwürdigsten Tatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es partielle Differentialgleichungen gibt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhängigen Variablen sind, die also, kurz gesagt, nur analytischer Lösungen fähig sind. Die bekanntesten partiellen Differentialgleichungen dieser Art sind die Potentialgleichung

und gewisse von PICARD (Journal de l'Ecole Polytechnique 1890.) untersuchte lineare Differentialgleichungen, ferner die Differentialgleichung

die partielle Differentialgleichung der Minimalfläche und andere. Die Mehrzahl dieser partiellen Differentialgleichungen haben als Merkmal miteinander gemein, daß sie die Lagrangeschen Differentialgleichungen gewisser Variationsprobleme sind, und zwar solcher Variationsprobleme

bei denen für alle in Frage kommenden Argumente die Ungleichung

gilt, während F selbst eine analytische Funktion ist. Wir wollen ein solches Variationsproblem ein reguläres Variationsproblem nennen. Die regulären Variationsprobleme sind es vornehmlich, die in der Geometrie, Mechanik und mathematischen Physik eine Rolle spielen, und es liegt die Frage nahe, ob alle Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytische Funktionen sein müssen, d. h., ob jede Lagrangesche partielle Differentialgleichung eines regulären Variationsproblems die Eigenschaft hat, daß sie nur analytische Integrale zuläßt - selbst wenn man, wie bei dem Dirichletschen Potentialproblem, der Funktion irgendwelche stetige, aber nicht analytische Randwerte aufzwingt.

Ich bemerke noch, daß es beispielsweise Flächen von negativer konstanter Gaußscher Krümmung gibt, die durch stetige und fortgesetzt differenzierbare, aber nicht analytische Funktionen dargestellt werden, während wahrscheinlich jede Fläche von positiver konstanter Gaußscher Krümmung stets notwendig eine analytische Fläche sein muß. Bekanntlich stehen ja auch die Flächen positiver konstanter Krümmung in engster Verbindung mit dem regulären Variationsproblem, durch eine geschlossene Raumkurve eine Fläche kleinsten Flächeninhaltes zu legen, die mit einer festen Fläche durch die nämliche Raumkurve ein gegebenes Volumen abschließt.