20. Hilbertsches Problem:

Allgemeines Randwertproblem

Ein wichtiges Problem, welches mit dem eben genannten in engem Zusammenhang steht, ist die Frage nach der Existenz von Lösungen von partiellen Differentialgleichungen mit vorgeschriebenen Randwerten. Die scharfsinnigen Methoden von H. A. SCHWARZ, C. NEUMAN und POINCARE haben dieses Problem für die Differentialgleichung des Potentials im wesentlichen gelöst, doch erscheinen diese Methoden im allgemeinen nicht unmittelbar der Ausdehnung fähig auf den Fall, in dem am Rande die Differentialquotienten oder Beziehungen zwischen diesen und den Werten der Funktion vorgeschrieben sind, oder wenn es sich nicht um Potentialflächen handelt, sondern etwa nach Flächen kleinsten Flächeninhalts oder nach Flächen mit konstanter positiver Gaußscher Krümmung gefragt wird, die durch eine vorgelegte Raumkurve hindurchlaufen oder über eine gegebene Ringfläche zu spannen sind. Ich bin überzeugt, daß es möglich sein wird, diese Existenzbeweise durch einen allgemeinen Grundgedanken zu führen, auf den das Dirichletsche Prinzip hinweist und der uns dann vielleicht in den Stand setzen wird, der Frage näherzutreten, ob nicht jedes reguläre Variationsproblem eine Lösung besitzt, sobald hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen - etwa die Stetigkeit und stückweise öftere Differenzierbarkeit der für die Randbedingungen maßgebenden Funktionen - erfüllt sind und nötigenfalls der Begriff der Lösung eine sinngemäße Erweiterung erfährt. (Vgl. meinen Vortrag über das Dirichletsche Prinzip. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung VIII, 1900, S.184.)