21. Hilbertsches Problem:

Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe

Aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen z möchte ich auf ein wichtiges Problem hinweisen, welches wohl bereits RIEMANN im Sinne gehabt hat und welches darin besteht zu zeigen, das es stets eine lineare Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse mit gegebenen singulären Stellen und einer gegebenen Monodromiegruppe gibt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Funktionen der Variablen z, die sich überall in der komplexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden, und beim Umlauf der Variablen z um dieselben erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Konstantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind. Diesen Beweis hat L. SCHLESINGER (Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2, No. 366.) auf Grund der Poincareschen Theorie der Fuchsschen zeta-Funktionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Differentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge.