22. Hilbertsches Problem:

Uniformisierung analytischer Beziehungen mittels automorpher Funktionen

Wie POINCARE zuerst bewiesen hat, gelingt die Uniformisierung einer beliebigen algebraischen Beziehung zwischen zwei Variablen stets durch automorphe Funktionen einer Variablen; d. h. wenn eine beliebige algebraische Gleichung zwischen zwei Variablen vorgelegt ist, so lassen sich für dieselben stets solche eindeutigen automorphen Funktionen einer Variablen finden, nach deren Einsetzung die algebraische Gleichung identisch in dieser Variablen erfüllt ist. Die Verallgemeinerung dieses fundamentalen Satzes auf nicht algebraische, sondern beliebige analytische Beziehungen zwischen zwei Variablen hat POINCARE (Bulletin de la Societe Mathematique de France XI. 1883.) ebenfalls mit Erfolg in Angriff genommen, und zwar auf einem völlig anderen Wege als derjenige war, der ihn bei dem anfangs genannten speziellen Problem zum Ziele führte. Aus POINCARES Beweis für die Möglichkeit der Uniformisierung einer beliebigen analytischen Beziehung zwischen zwei Variablen geht jedoch noch nicht hervor, ob es möglich ist, die eindeutigen Funktionen der neuen Variablen so zu wählen, daß, während diese Variable das reguläre Gebiet jener Funktionen durchläuft, auch wirklich die Gesamtheit aller regulären Stellen des vorgelegten analytischen Gebildes zur Darstellung gelangt. Vielmehr scheinen POINCARES Untersuchungen, abgesehen von den Verzweigungspunkten, noch gewisse andere, im allgemeinen unendlich viele diskrete Stellen des vorgelegten analytischen Gebildes ausgenommen zu sein, zu denen man nur gelangt, indem man die neue Variable gewissen Grenzstellen der Funktionen nähert. Eine Klärung und Lösung dieser Schwierigkeit scheint mir in Anbetracht der fundamentalen Bedeutung der Poincareschen Fragestellung äußerst wünschenswert.

Im Anschluß an dieses Problem bietet sich das Problem der Uniformisierung einer algebraischen oder beliebigen analytischen Beziehung zwischen drei oder mehr komplexen Veränderlichen - ein Problem, das bekanntlich in zahlreichen besonderen Fällen lösbar ist und für welches die neueren Untersuchungen von PICARD über algebraische Funktionen von zwei Variablen willkommene und bedeutsame Vorarbeiten in Anspruch zu nehmen sind.