23. Hilbertsches Problem:

Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung

Bisher habe ich im allgemeinen möglichst bestimmte und spezielle Probleme genannt, in der Erwägung, daß es gerade die bestimmten und speziellen Probleme sind, die uns am meisten anziehen und von denen oft der nachhaltigste Einfluß auf die Gesamtwissenschaft ausgeht. Dennoch möchte ich mit einem allgemeinen Problem schließen, nämlich mit dem Hinweis auf eine Disziplin, die bereits mehrmals in meinem Vortrag Erwähnung fand - eine Disziplin, die trotz der erheblichen Förderung, die sie in neuerer Zeit durch WEIERSTRASS erfahren hat, dennoch nicht die allgemeine Schätzung genießt, die ihr meiner Ansicht nach zukommt - ich meine die Variationsrechnung (Lehrbücher sind MOIGNO- LINDELÖF: Lecons du calcul des variations, Paris 1861 und A. KNESER: Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1900.).

Die Variationsrechnung im weitesten Sinne ist die Lehre vom Variieren der Funktionen und erscheint uns als solche wie eine denknotwendige Fortsetzung der Differential- und Integralrechnung. So aufgefaßt, bilden beispielsweise die Poincareschen Untersuchungen über das Dreikörperproblem ein Kapitel der Variationsrechnung, insofern darin POINCARE aus bekannten Bahnkurven von gewisser Beschaffenheit durch das Prinzip des Variierens neue Bahnkurven von ähnlicher Beschaffenheit ableitet.

Den am Anfang meines Vortrags gemachten allgemeinen Bemerkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Begründung hinzu.

Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung besteht bekanntlich darin, eine Funktion y der Veränderlichen x derart zu finden, daß das bestimmte Integral

einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten, die das Integral annimmt, wenn wir statt y andere Funktionen von x mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten Variation im üblichen Sinne

J = 0

liefert für die gesuchte Funktion y die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

(1)

Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, betrachten wir das Integral

und fragen, wie darin p als Funktion von x, y zu nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals J* von dem Integrationswege, d. h. von der Wahl der Funktion y der Variablen x unabhängig wird. Das Integral J* hat die Form

wo A und B nicht yx enthalten, und das Verschwinden der ersten Variation

J* = 0

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

d. h., wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichen x, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung

(1*)

Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die eben gefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zueinander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns unmittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:



Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Tatsachen: Wenn wir uns irgendeine einfache Schar von Integralkurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

(2) yx = p(x,y)

bilden, die diese Integralkurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so ist stets die Funktion p(x,y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn p(x,y) irgendeine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären Integrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2) zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1); oder kurz ausgedrückt: Wenn yx = p(x,y) ein Integral erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist, so stellt p(x,y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung (1*) dar und umgekehrt; die Integralkurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*).

In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat auch mittels einer einfachen Rechnung; diese liefert uns nämlich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bzw. (1*) in der Gestalt

(1) yxx Fyxyx + yx Fyxy + Fyxx - Fy = 0

bzw.

(1*) (px + ppy)Fpp + pFpy + Fpx - Fy = 0,

wo die unteren Indizes in leichtverständlicher Schreibweise die partiellen Ableitungen nach x, y, p, yx bedeuten. Hieraus leuchtet die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein.

Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegender Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrals J* vom Integrationswege folgt nunmehr

(3)

wenn wir das Integral linker Hand auf irgendeinem Wege y und das Integral rechter Hand auf einer Integralkurve y der Differentialgleichung

yx = p(x,y)

genommen denken. Mit Hilfe der Gleichung (3) gelangen wir zu der Weierstraßschen Formel

(4)

wo E den von den 4 Argumenten yx, p, y, x abhängigen Weierstraßschen Ausdruck

E(yx,p) = F(yx) - F(p) - (yx - p) Fp(p)

bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede stehende Integralkurve y in der xy-Ebene auf eindeutige und stetige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion p(x,y) zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwicklungen unmittelbar - ohne Heranziehung der zweiten Variation, sondern allein durch Anwendung des Polarenprozesses auf die Differentialgleichung (1) - zur Aufstellung der Jacobischen Bedingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Jacobische Bedingung im Verein mit der Weierstraßschen Bedingung F > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

Die angedeuteten Entwicklungen lassen sich, ohne daß eine weitere Rechnung nötig wäre, auf den Fall zweier oder mehr gesuchter Funktionen sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehrfachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall des über ein gegebenes Gebiet omega zu erstreckenden Doppelintegrals

das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten Variation

J = 0

für die gesuchte Funktion z von x, y die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

(I)

Andererseits betrachten wir das Integral


und fragen, wie darin p und q als Funktionen von x, y, z zu nehmen sind, damit der Wert dieses Integrals von der Wahl der durch die gegebene geschlossene Raumkurve gelegten Fläche, d. h. von der Wahl der Funktion z der Variablen x, y unabhängig wird. Das Integral J* hat die Form

und das Verschwinden der ersten Variation

J* = 0

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

d. h., wir erhalten für die Funktionen p und q der drei Variablen x, y, z die Differentialgleichung erster Ordnung

(I*)

Fügen wir zu dieser Differentialgleichung noch die aus den Gleichungen

(II)

zx = p(x,y,z), zy = q(x,y,z)

resultierende partielle Differentialgleichung

(I**)

py + qpz = qx + pqz

hinzu, so stehen die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (I) für die Funktion z der zwei Veränderlichen x, y und das simultane System der zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (I*), (I**) für die zwei Funktionen p und q der drei Veränderlichen x, y, z zueinander genau in der analogen Beziehung, wie vorhin im Falle eines einfachen Integrals die Differentialgleichungen (1) und (1*).

Wegen der Unabhängigkeit des Integrals J* von der Wahl der Integrationsfläche z folgt:

(III)

wenn wir das Integral rechter Hand auf einer Integralfläche der partiellen Differentialgleichungen

genommen denken, und mit Hilfe dieser Formel gelangen wir dann sofort zu der Formel

(IV)


E(zx,zy,p,q) = F(zx,zy) - F(p,q) - (zx - p)Fp(p,q) - (zy - q)Fq(p,q)

die für die Variation der Doppelintegrale die nämliche Rolle spielt, wie die vorhin angegebene Formel (4) für die einfachen Integrale, und mit deren Hilfe wir wiederum die Frage beantworten können, inwiefern die Jacobische Bedingung im Verein mit der Weierstraßschen Bedingung E > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.