3. Hilbertsches Problem:

Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe

GAUSS (Werke, Bd. 8, S.241 und 244) spricht in zwei Briefen an GERLING sein Bedauern darüber aus, daß gewisse Sätze der Stereometrie von der Exhaustionsmethode, d. h. in der modernen Ausdrucksweise von dem Stetigkeitsaxiom (oder von dem Archimedischen Axiom) abhängig sind. GAUSS nennt besonders den Satz von EUKLID, daß dreiseitige Pyramiden von gleicher Höhe sich wie ihre Grundflächen verhalten. Nun ist die analoge Aufgabe in der Ebene vollkommen erledigt worden (Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Kapitel IV, Leipzig 1899); auch ist es GERLING ( GAUSS: Werke, Bd. 8, S.242) gelungen, die Volumengleichheit symmetrischer Polyeder durch Zerlegung in kongruente Teile zu beweisen. Dennoch erscheint mir der Beweis des eben genannten Satzes von EUKLID auf diese Weise im allgemeinen wohl nicht als möglich, und es würde sich also um den strengen Unmöglichkeitsbeweis handeln. Ein solcher wäre erbracht, sobald es gelingt, zwei Tetraeder mit gleicher Grundfläche und von gleicher Höhe anzugeben, die sich auf keine Weise in kongruente Tetraeder zerlegen lassen und die sich auch durch Hinzufügung kongruenter Tetraeder nicht zu solchen Polyedern ergänzen lassen, für die ihrerseits eine Zerlegung in kongruente Tetraeder möglich ist.