5. Hilbertsches Problem:

Lies Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen

LIE hat bekanntlich mit Hinzuziehung des Begriffs der kontinuierlichen Transformationsgruppe ein System von Axiomen für die Geometrie aufgestellt und auf Grund seiner Theorie der Transformationsgruppen bewiesen, daß dieses System von Axiomen zum Aufbau der Geometrie hinreicht. Da LIE jedoch bei der Begründung seiner Theorie stets annimmt, daß die die Gruppe definierenden Funktionen differenziert werden können, so bleibt in den Lieschen Entwicklungen unerörtert, ob die Annahme der Differenzierbarkeit bei der Frage nach den Axiomen der Geometrie tatsächlich unvermeidlich ist oder nicht vielmehr als eine Folge des Gruppenbegriffs und der übrigen geometrischen Axiome erscheint. Diese Überlegung sowie auch gewisse Probleme hinsichtlich der arithmetischen Axiome legen uns die allgemeine Frage nahe, inwieweit der Liesche Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzierbarkeit der Funktionen unserer Untersuchung zugänglich ist.

Bekanntlich definiert LIE die endliche kontinuierliche Transformationsgruppe als ein System von Transformationen

x'i = fi(x1,...,xn; a1,...,ar) (i=1,...,n)

von der Beschaffenheit, daß zwei beliebige Transformationen

x'i = fi(x1,...,xn; a1,...,ar)

x''i = fi(x'1,...,x'n; b1,...,br)

des Systems, nacheinander ausgeführt, eine Transformation ergeben, welche wiederum dem System angehört und sich mithin in der Form

x''i = fi(f1(x,a),..., fn(x,a); b1,...,br)=fi(x1,...,xn; c1,...,cr)

darstellen läßt, wo c1,...,cr gewisse Funktionen von a1,...,ar; b1,...,br sind. Die Gruppeneigenschaft findet mithin ihren Ausdruck in einem System von Funktionalgleichungen und erfordert an sich für die Funktionen f1,...,fn, c1,...,cr keinerlei nähere Beschränkung. Doch die weitere Behandlungsweise jener Funktionalgleichungen nach LIE, nämlich die Ableitung der bekannten grundlegenden Differentialgleichungen, setzt notwendig die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen voraus.

Was zunächst die Stetigkeit betrifft, so wird man gewiß an dieser Forderung zunächst festhalten - schon im Hinblick auf die geometrischen und arithmetischen Anwendungen, bei denen die Stetigkeit der in Frage kommenden Funktionen als eine Folge des Stetigkeitsaxioms erscheint. Dagegen enthält die Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen eine Forderung, die sich in den geometrischen Axiomen nur auf recht gezwungene und komplizierte Weise zum Ausdruck bringen läßt, und es entsteht mithin die Frage, ob nicht etwa durch die Einführung geeigneter neuer Veränderlicher und Parameter die Gruppe stets in eine solche übergeführt werden kann, für welche die definierenden Funktionen differenzierbar sind, oder ob wenigstens unter Hinzufügung gewisser einfacher Annahmen eine Überführung in die der Lieschen Methode zugänglichen Gruppen möglich ist. Die Zurückführung auf analytische Gruppen ist nach einem von LIE (LIE-ENGEL: Theorie der Transformationsgruppen, Bd. 3, Leipzig 1892, 82 und 144.) augestellten und von SCHUR (Über den analytischen Charakter der eine endliche kontinuierliche Transformationsgruppe darstellenden Funktionen. Mathematische Annalen, Bd. 41.) zuerst bewiesenen Satz stets dann möglich, sobald die Gruppe transitiv ist und die Existenz der ersten und gewisser zweiter Ableitungen der die Gruppe definierenden Funktionen vorausgesetzt wird.

Auch für unendliche Gruppen ist, wie ich glaube, die Untersuchung der entsprechenden Frage von Interesse. Überhaupt werden wir auf das weite und nicht uninteressante Feld der Funktionalgleichungen geführt, die bisher meist nur unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der auftretenden Funktionen untersucht worden sind. Insbesondere die von ABEL (Werke, Bd. 1. S.1, 61, 389.) mit so vielem Scharfsinn behandelten Funktionalgleichungen, die Differenzengleichungen und andere in der Literatur vorkommenden Gleichungen weisen an sich nichts auf, was zur Forderung der Differenzierbarkeit der auftretenden Funktionen zwingt, und bei gewissen Existenzbeweisen in der Variationsrechnung fiel mir direkt die Aufgabe zu, aus dem Bestehen einer Differenzengleichung die Differenzierbarkeit der betrachteten Funktion beweisen zu müssen. In allen diesen Fällen erhebt sich daher die Frage, inwieweit etwa die Aussagen, die wir im Falle der Annahme differenzierbarer Funktionen machen können, unter geeigneten Modifikationen ohne diese Voraussetzung gültig sind.

Bemerkt sei noch, daß H. MINKOWSKI in seiner vorhin genannten "Geometrie der Zahlen" von der Funktionalungleichung

f(x1+y1,...,xn+yn) <= f(x1,...,xn) + f(y1,...,yn)

ausgeht und aus dieser in der Tat die Existenz gewisser Differentialquotienten für die in Betracht kommenden Funktionen zu beweisen vermag.

Andererseits hebe ich hervor, daß es sehr wohl analytische Funktionalgleichungen gibt, deren einzige Lösungen nicht differenzierbare Funktionen sind. Beispielsweise kann man eine eindeutige stetige nichtdifferenzierbare Funktion g(x) [im Original: phi(x)] konstruieren, die die einzige Lösung zweier Funktionalgleichungen

g(x+a) - g(x)=f(x)

g(x+b) - g(x)=0

darstellt, wo a, b [im Original: alpha, beta] zwei reelle Zahlen und f(x) eine für alle reellen Werte von x reguläre analytische eindeutige Funktion bedeutet. Man gelangt am einfachsten zu solchen Funktionen mit Hilfe trigonometrischer Reihen durch einen ähnlichen Gedanken wie ihn BOREL nach einer jüngsten Mitteilung von PICARD (Quelques theories fundametales dans l'analyse mathematique. Conferences faites a Clark-University. Revue generale des Sciences 1900, S.22.) zur Konstruktion einer doppeltperiodischen nichtanalytischen Lösung einer gewissen analytischen partiellen Differentialgleichung benutzt hat.