8. Hilbertsches Problem:

Primzahlenprobleme

In der Theorie der Verteilung der Primzahlen sind in neuerer Zeit durch HADAMARD, DE LA VALLEE-POUSSIN, V. MANGOLDT und andere wesentliche Fortschritte gemacht worden. Zur vollständigen Lösung der Probleme, die uns die Riemannsche Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" gestellt hat, ist es jedoch noch nötig, die Richtigkeit der äußerst wichtigen Behauptung von RIEMANN nachzuweisen, daß die Nullstellen der Funktion (s), die durch die Reihe

dargestellt wird, sämtliche den reellen Bestandteil 1/2 haben - wenn man von den bekannten negativ ganzzahligen Nullstellen absieht. Sobald dieser Nachweis gelungen ist, so würde die weitere Aufgabe darin bestehen, die Riemannsche unendliche Reihe für die Anzahl der Primzahlen genauer zu prüfen und insbesondere zu entscheiden, ob die Differenz zwischen der Anzahl der Primzahlen unterhalb einer Größe x und dem Integrallogarithmus von x in der Tat von nicht höherer als der 1/2ten Ordnung in x unendlich wird, und ferner, ob dann die von den ersten komplexen Nullstellen der Funktion (x) abhängenden Glieder der Riemannschen Formel wirklich die stellenweise Verdichtung der Primzahlen bedingen, welche man bei den Zählungen der Primzahlen bemerkt hat.

Nach einer erschöpfenden Diskussion der Riemannschen Primzahlenformel wird man vielleicht dereinst in die Lage kommen, an die strenge Beantwortung des Problems von GOLDBACH (Vgl. STÄCKEL: Über Goldbachs empirisches Theorem, Nachrichten des K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1896, und LANDAU, ebenda 1900.) zu gehen, ob jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, ferner an die bekannte Frage, ob es unendlich viele Primzahlenpaare mit der Differenz 2 gibt oder gar an das allgemeinere Problem, ob die lineare diophantische Gleichung

ax + by + c = 0

mit gegebenen ganzzahligen paarweise teilerfremden Koeffizienten a, b, c stets in Primzahlen x, y lösbar ist.

Aber von nicht geringerem Interesse und vielleicht von noch größerer Tragweite erscheint mir die Aufgabe, die für die Verteilung der rationalen Primzahlen gewonnenen Resultate auf die Theorie der Verteilung der Primideale in einem gegebenen Zahlkörper k zu übertragen - eine Aufgabe, die auf das Studium der dem Zahlkörper zugehörigen Funktion

hinausläuft, wo die Summe über alle Ideale j des gegebenen Zahlkörpers k zu erstrecken ist und n(j) die Norm des Ideals j bedeutet.