Überblicken wir die Entwicklung der Theorie der Funktionen im letzten Jahrhundert, so bemerken wir vor allem die fundamentale Rolle derjenigen Klasse von Funktionen, die wir heute als analytische Funktionen bezeichnen - eine Klasse von Funktionen, die wohl dauernd im Mittelpunkt des mathematischen Interesses stehen wird.

Wir könnten nach sehr verschiedenen Gesichtspunkten aus der Fülle der denkbaren Funktionen umfassende Klassen herausheben, die einer besonders eingehenden Untersuchung würdig sind. Betrachten wir beispielsweise die Klasse derjenigen Funktionen, die sich durch gewöhnliche oder partielle algebraische Differentialgleichungen charakterisieren lassen. In dieser Klasse von Funktionen kommen, wie wir sofort bemerken, gerade solche Funktionen nicht vor, die aus der Zahlentheorie stammen und deren Erforschung für uns von höchster Wichtigkeit ist. Beispielsweise genügt die schon früher erwähnte Funktion (s) keiner algebraischen Differentialgleichung, wie man leicht mit Hilfe der bekannten Relation zwischen (s) und (s-1) erkennen kann, wenn man den von HÖLDER (Mathematische Annalen, Bd. 28.) bewiesenen Satz benutzt, daß die Funktion (x) keine algebraische Differentialgleichung befriedigt. Ferner genügt die durch die unendliche Reihe

definierte Funktion der beiden Veränderlichen s und x, die mit jener Funktion zeta(s) in enger Beziehung steht, wahrscheinlich keiner partiellen algebraischen Differentialgleichung; bei der Untersuchung dieser Frage wird man die Funktionalgleichung zu benutzen haben:

Wenn wir andererseits, was aus arithmetischen und geometrischen Gründen naheliegt, die Klasse aller derjenigen Funktionen betrachten, welche stetig und unbegrenzt differenzierbar sind, so würden wir bei deren Untersuchung auf das gefügige Werkzeug der Potenzreihe und auf den Umstand verzichten müssen, daß die Funktion durch die Wertzuordnung in jedem beliebig kleinen Gebiet völlig bestimmt ist. Während also die vorige Abgrenzung des Funktionengebietes zu eng war, erscheint uns diese als zu weit.

Der Begriff der analytischen Funktion dagegen nimmt in sich den ganzen Reichtum der für die Wissenschaft wichtigsten Funktionen auf, mögen sie aus der Zahlentheorie, aus der Theorie der Differentialgleichungen oder der algebraischen Funktionalgleichungen, mögen sie aus der Geometrie oder der mathematischen Physik stammen; und so führt mit Recht die analytische Funktion im Reiche der Funktionen die unbedingte Herrschaft.