Die Hilbertschen Probleme


Auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongreß im Jahre 1900 in Paris formulierte David Hilbert dreiundzwanzig Probleme, auf die als Schlüsselprobleme des weiteren mathematischen Fortschritts die Kräfte zu konzentrieren seien. Es zeigte sich dann im Verlauf des 20. Jahrhunderts tatsächlich, daß Hilbert fast durchgängig Kernprobleme der Mathematik genannt hatte, deren Erforschung und Lösung einen großen Teil der Erfolge der Mathematik in diesem Jahrhundert ausmachten. Der unten folgende Text des Hilbertschen Vortrags vom 8. August 1900 erschien erstmals in den Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse 1900, Heft 3, S. 253 - 297. Er wurde unter anderem 1998 nachgedruckt in Band 252 von Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften im Verlag Harri Deutsch. Dort finden sich auch zu jedem einzelnen Problem Kommentare zum geschichtlichen Ablauf der Erforschung und Lösung bzw. zum Stand der Forschung im Jahre 1969, als diese Kommentare erstmals geschrieben wurden.


Einleitende Bemerkungen Hilberts

1. Cantors Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums

2. Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome

Hilbert fährt fort: Aus dem Gebiete der Grundlagen der Geometrie möchte ich zunächst das folgende Problem nennen.

3. Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe

4. Problem von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte

5. Lies Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen

6. Mathematische Behandlung der Axiome der Physik

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7. Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen

8. Primzahlenprobleme

Hilbert weiter: Ich nenne noch drei speziellere Probleme aus der Zahlentheorie, nämlich eines über die Reziprozitätsgesetze, eines über diophantische Gleichungen und ein drittes aus dem Gebiet der quadratischen Formen.

9. Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper

10. Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung

11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlenkoeffizienten

Hilbert weiter: Den Übergang zur Algebra und Funktionentheorie möge das folgende wichtige Problem bilden.

12. Ausdehnung des Kroneckerschen Satzes über abelsche Körper auf einen beliebigen algebraischen Rationalitätsbereich

Hilbert weiter: Wir kommen nun zur Algebra; ich nenne im folgenden ein Problem aus der Gleichungstheorie und eines, auf welches mich die Theorie der algebraischen Invarianten geführt hat.

13. Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung 7. Grades mittels Funktionen von nur 2 Argumenten

14. Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Funktionensysteme

Hilbert weiter: Aus den Grenzgebieten zwischen Algebra und Geometrie möchte ich zwei Probleme nennen: das eine betrifft den geometrischen Abzählungskalkül und das zweite die Topologie algebraischer Kurven und Flächen.

15. Strenge Begründung von Schuberts Abzählungskalkül

16. Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen

17. Darstellung definiter Formen durch Quadrate

Hilbert weiter: Ich nenne noch eine geometrische Aufgabe.

18. Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern

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19. Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?

20. Allgemeine Randwertprobleme

21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe

22. Uniformisierung analytischer Beziehungen mittels automorpher Funktionen

23. Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung

Schlußwort Hilberts