Kubische Gleichungen

Historisches

Die Lösungsformel für kubische Gleichungen wird heute oft nach Girolamo Cardano (1501-1576) Cardanosche Formel benannt. Cardano studierte Medizin und Philosophie in Padua und war bereits Rektor der Universität zu Padua, bevor er im dritten Anlauf zum Doktor der Medizin promovierte.

Der Mathematiker del Ferro hatte eine Lösungsformel für die kubische Gleichung gefunden, diese jedoch nicht publiziert, sondern seinen Schülern Annibale dalla Nave und Antonio Maria Fior mitgeteilt. Letzterer forderte Tartaglia, dessen richiger Name Nicolo Fontana lautete, zu einem mathematischen Wettstreit heraus, indem er 30 Aufgaben bei einem Notar hinterlegte, die Tartaglia lösen sollte. Die Aufgaben, die Fior gestellt hatte, waren alle vom Typ x3 + px = q. Acht Tage vor Ablauf des Wettstreites fand Tartaglia eine Lösungsformel und konnte die 30 Aufgaben innerhalb von 2 Stunden lösen.

Girolamo Cardano hörte ebenfalls davon, daß Tartaglia im Besitz der Lösungsformel war, und er bat diesen, ihm die Formel mitzuteilen, damit er sie in seinem nächsten Buch unter Tartaglia's Namen veröffentlichen konnte. Tartaglia lehnte zuerst ab, übergab jedoch später die Formel in Form des folgenden Gedichtes an Cardano. Dieser versprach, die Formel nur verschlüsselt aufzubewahren. Als er sich nicht an dieses Versprechen hielt, kam es zu einem erbitterten Streit mit Tartaglia.

Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia à qualche numero discreto
Trouan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
Che'llor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.
In el secondo de cotesti atti
Quando che'l cubo restasse lui solo
Tu osseruarai quest'altri contratti,
Del numer farai due tal part'à uolo
Che l'una in l'altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo
Delle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sara il tuo concetto.
El terzo poi de questi nostri conti
Se solue col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trouai, & non con paßi tardi
Nel mille cinquecenté, quatroe trenta
Con fondamenti ben sald'è gagliardi
Nella Citta dal mar'intorno centa.

 

Wenn der Kubus mit den Coßen daneben
gleich ist einer diskreten Zahl,
finden sich als Differenz zwei andere in dieser.
Dann halte es wie gewöhnlich,
daß nämlich ihr Produkt gleich sei
dem Kubus des Drittels der Coßen,
Und der Rest dann, so die Regel,
ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert
wird sein deine Hauptcoß.
In dem zweiten von diesen Fällen,
wenn der Kubus allein steht
und du betrachtest die anderen zusammengezogen,
Von der Zahl mache wieder zwei solche Teile,
daß der eine in den anderen multipliziert
den Kubus des Drittels der Coßen ergibt.
Von jenen dann, so die gemeine Vorschrift,
nimm die Kubusseiten zusammen vereint
und diese Summe wird dein Konzept sein.
Die dritte nun von diesen unseren Rechnungen
löst sich wie die zweite, wenn du wohl beachtest,
daß sie von Natur aus gleichsam verwandt sind.
Dieses fand ich, nicht schwerfälligen Schritts,
im Jahre tausendfünfhundertvierunddreißig
mit Begründungen triftig und fest
In der Stadt vom Meer rings umgürtet.

 


Definition

Eine Kubische Gleichung oder Gleichung 3. Grades ist eine Gleichung, bei der die höchste Potenz, in der die Unbekannte x vorkommt, gerade x3 ist, also

ax3 + bx2 + cx + d = 0    mit   a /= 0.

Eine Lösung dieser Gleichungen ist deutlich schwieriger, als die der quadratischen Gleichung, da zur Lösung Quadratwurzeln und Kubikwurzeln benötigt werden.

Lösungsverfahren

Die Lösung der kubischen Gleichung erfolgt in mehreren Schritten. Als erstes empfiehlt es sich, die gesamte Gleichung mit 27 a2 zu multiplizieren, um im weiteren Verlauf der Rechnung Brüche zu vermeiden. Dies ergibt die folgende Gleichung

27a3x3 + 27a2bx2 + 27a2cx + 27a2d = 0,

aus der jetzt noch die 2. und 3. Potenz isoliert werden:

27a3x3 + 27a2bx2 = - 27a2cx - 27a2d.

1. Schritt: Kubische Ergänzung

In diesem Schritt wird, ähnlich der quadratischen Ergänzung bei der quadratischen Gleichung, eine kubische Ergänzung ermittelt. Damit kann dann die linke Seite der Gleichung als (3ax + b)3 geschrieben werden.

Gemäß der binomischen Formel gilt nämlich

(3ax + b)3 = 27a3x3 + 27a2bx2 + 9ab2x + b3.

Daraus folgt, daß der Term 9ab2x + b3 als kubische Ergänzung auf beiden Seiten addiert werden kann

(3ax + b)3 = 9ab2x + b3 - 27a2cx - 27a2d.

Durch Ausklammern auf der rechten Seite erhält man schließlich

(3ax + b)3 = 3(b2 - 3ac)(3ax) + b3 - 27a2d,

also

(3ax + b)3 + 3(3ac - b2)(3ax) + 27a2d - b3 = 0,

2. Schritt: Substitution von 3ax + b

Substituiert man in dieser Gleichung y = 3ax + b, so ergibt sich

y3 + 3(3ac - b2)(y-b) + 27a2d - b3 = y3 + 3(3ac - b2)y + 27a2d - 9abc + 2b3 = 0.

Mit den Abkürzungen p = 3ac - b2 und q = 27a2d - 9abc + 2b3 erhält man die reduzierte kubische Gleichung

y3 + 3py + q = 0.

Jede Lösung y dieser Gleichung liefert genau eine Lösung x = (y-b)/(3a) der ursprünglichen kubischen Gleichung.

Die reduzierte kubische Gleichung enthält kein quadratisches Glied mehr, jedoch ein lineares Glied 3py, so daß die Gleichung für p /= 0 nicht mittels einer einzelnen Kubikwurzel gelöst werden kann. (Im Falle p = 0 existiert stets eine Lösung y1 in Form der reellen Kubikwurzel aus -q, so daß der Faktor y - y1 durch Polynomdivision abgespalten werden kann. Die anderen Lösungen ergeben sich dann als Nullstellen der resultierenden quadratischen Gleichung.)

3. Schritt: Darstellung der Lösung mittels zweier Kubikwurzeln

Unter der Annahme, daß sich eine Lösung y der reduzierten kubischen Gleichung als Summe y = u + v zweier Kubikwurzeln u und v darstellen läßt, führt sie zu

(u + v)3 = -3p(u + v) - q,

also mittels der binomischen Formel zu

u3 + 3uv(u+v) + v3 = -3p(u + v) - q.

Man hat also eine Lösung y = u+v der reduzierten kubischen Gleichung gefunden, wenn man zwei Kubikwurzeln u und v hat, die das Gleichungssystem

u3 + v3 = -q    und    uv = -p

erfüllen.

4. Schritt: Lösung des Gleichungssystems
Das obige Gleichungssystem ist zwar nicht linear, aber trotzdem einfach lösbar. Dabei hilft der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen:

Sind z1 und z2 Nullstellen der quadratischen Gleichung z2 + sz + t = 0, so gilt

z1 + z2 = -s    und    z1 z2 = t.

Auf das Gleichungssystem aus Schritt 3 angewandt, indem z1 = u3 und z2 = v3 gesetzt wird, ergibt sich für die Summe -s = z1 + z2 = u3 + v3 = -q und für das Produkt t = z1 z2 = u3 v3 = -p3. Entsprechend dem Satz von Vieta sind z1 = u3 und z2 = v3 Lösungen der quadratischen Resolvente

(1)

z2 + qz - p3 = 0.

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung lauten aber

Wegen u3 = z1 und v3 = z2 ergeben sich hieraus folgende Werte für u und v

Daraus erhält man eine erste Lösung y1 = u + v der reduzierten kubischen Gleichung:


Durch die Rücksubstitution x = (y-b)/(3a) ergibt sich dann eine Lösung x1 = (y1 - b)/(3a) der allgemeinen kubischen Gleichung.

Ist die Diskriminante q2 + 4p3 der quadratischen Resolvente nicht negativ, besitzen u und v reelle Werte. Da die Kubikwurzeln dann immer im Reellen existieren, liefern y1 bzw. x1 in diesem Fall stets reelle Lösungen der (reduzierten) kubischen Gleichung. Falls dagegen die Diskriminante negativ ist, tritt der Casus irreducibilis ein, bei dem eine reelle Lösung der kubischen Gleichung nur mittels komplexer Lösungen der quadratischen Resolvente gefunden werden kann. Dieser Fall wird weiter unten näher betrachtet. Zunächst einmal werden sämtliche Lösungen für den Fall einer nicht negativen Diskriminante ermittelt.

Aus dem Fundamentalsatz der Algrebra (Gauß um 1800) ist bekannt, daß jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n reelle oder komplexe Lösungen besitzt. Das heißt, daß die kubische Gleichung 3 Lösungen besitzt, wovon eine bereits bekannt ist. Um die beiden anderen Lösungen zu ermitteln, wendet man die Polynomdivision an und spaltet den zu y1 = u + v gehörigen Linearfaktor y - y1 von der reduzierten kubischen Gleichung ab.

(y3 + 3py + q) : (y - y1) = y2 + y1 y + (y12 + 3p) + Rest.

Für den Divisionsrest gilt (y12 + 3p)y1 + q = y13 + 3py1 + q = 0, da y1 = u + v die reduzierte kubische Gleichung löst.

Wegen uv = -p ergeben sich die beiden weiteren Lösungen y2, y3 der reduzierten kubischen Gleichung jetzt aus der quadratischen Gleichung

y2 + (u+v)y + ((u+v)2 - 3uv) = 0

Für ihre Diskriminante D = (u+v)2 - 4((u+v)2 - 3uv) erhält man nach einfachen Umformungen

D = -3(u - v)2.

Also ist D negativ für alle reellen u und v (ausgenommen u=v), d. h. in allen diesen Fällen ist zwar die erste Lösung y1 reell, jedoch sind die beiden weiteren Lösungen der reduzierten kubischen Gleichung konjugiert komplex. Damit ergeben sich sämtliche Lösungen aus den folgenden Cardanoschen Formeln, in denen die oben ermittelten Darstellungen von u und v einzusetzen sind.

y1 = u + v

y2 = 1/2*(-(u+v) + (u-v) i )

y3 = 1/2*(-(u+v) - (u-v) i )

Für u = v ist daher y2 = y3 = -(u+v)/2 eine weitere (doppelte) reelle Nullstelle.

Hiermit ergeben sich die Lösungen der allgemeinen kubischen Gleichung zu

xi = (yi - b)/(3a)  für i = 1, 2, 3.

Behandlung des "Casus irreducibilis"

In diesem Fall besitzt die quadratische Resolvente (1) eine negative Diskriminante q2 + 4p3. Daher muß p negativ sein, d. h. -p ist positiv. Außerdem werden z1 und z2 echte komplexe Zahlen. Für diesen Fall gilt

z1 = 1/2*(-q + i)    z2 = 1/2*(-q - i).

Die beiden Lösungen der quadratischen Resolvente sind konjugiert komplex. Sie werden jetzt in Polarkoordinaten, d. h. mittels Betrag und Argument, dargestellt.

Es ist

| z1 |2 = Re2(z1) + Im2(z1) = (-q/2)2 + (-q2 - 4p3)/4 = -p3

und daher

| z1 | = .

Die zu z1 konjugiert komplexe Zahl z2 hat natürlich denselben Betrag.

Für das Argument von z1 gilt

cos() = Re(z1)/| z1 | = (-q/2)/ = -q/(2).

Damit ergeben sich die folgenden Polarkoordinatendarstellungen von z1 und z2

z1 = (cos() + i sin())    z2 = (cos() - i sin()).

Nach der Formel von Moivre wird die n-te Wurzel einer komplexen Zahl berechnet, indem aus ihrem Betrag die Wurzel gezogen und ihr Argument durch n geteilt wird. Für den vorliegenden Fall der Kubikwurzeln aus z1 und z2 sind dies also wegen gerade

u = (cos(/3) + i sin(/3))

v = (cos(/3) - i sin(/3))

d. h., es sind also nicht nur z1 und z2 konjugiert komplex, sondern auch ihre Kubikwurzeln u und v.

Da die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen reell ist, ist die erste Lösung der reduzierten kubischen Gleichung auch in diesem Fall reell, nämlich

y1 = u + v = (2 cos(/3)).

Für y2 ergibt sich nach den oben hergeleiteten Formeln aus den Werten von u und v jetzt

y2 = -2 cos(/3 + /3).

Entsprechend erhält man für y3

y3 = -2 cos(/3 - /3).

Schließlich ergeben sich die Lösungen der ursprünglichen kubischen Gleichungen auch in diesem Fall zu

xi = (yi - b)/(3a)  für i = 1, 2, 3.