Magische Quadrate


Unter einem magischen Quadrat der Ordnung n versteht man die Anordnung von n2 verschiedenen (zunächst rationalen) Zahlen in einem quadratischen Schema, so daß die Summe der n Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder der beiden Hauptdiagonalen, also der von links oben nach rechts unten absteigenden und der von links unten nach rechts oben aufsteigenden Hauptdiagonalen, jeweils denselben festen Wert s besitzt.

Es ist nun sofort klar, daß sich diese Eigenschaft der Summen, gleich zu sein, nicht ändert, wenn man sämtliche Zahlen mit einem gemeinsamen, von Null verschiedenen Faktor c durchmultipliziert. Dabei wird nur der Wert s aller Summen ebenfalls mit c multipliziert. Man kann aus jedem gegebenen magischen Quadrat durch Multiplikation mit dem Hauptnenner aller beteiligten Zahlen also sofort ein neues gewinnen, in dem alle Einträge ganze Zahlen sind. Weiterhin geht jedes magische Quadrat in ein ebensolches über, wenn man zu allen Einträgen dieselbe feste Zahl d addiert. Einzig der Wert s aller Summen ändert sich dann um den Betrag n*d. Man kann also zu jedem magischen Quadrat sofort ein solches angeben, in dem sämtliche Einträge positive ganze Zahlen sind. Daher werden nur magische Quadrate betrachtet, bei denen die Einträge positive ganze Zahlen sind.

Dreht man ein magisches Quadrat um Vielfache von 90 Grad, so erhält man drei weitere magische Quadrate. Weiterhin kann man jedes magische Quadrat an einer Hauptdiagonale oder einer horizontalen oder vertikalen Achse durch seinen Mittelpunkt spiegeln, um ein anderes magisches Quadrat zu erhalten. Alle diese sieben weiteren Quadrate betrachtet man aber als nicht wesentlich vom ursprünglichen magischen Quadrat verschieden.

Ein magisches Quadrat der Ordnung n heißt normal, wenn es sich bei seinen Einträgen genau um die Zahlen 1,2,...,n2 handelt. Addiert man sämtliche Zeilen eines normalen magischen Quadrates, so ergibt sich einerseits die Summe über alle ganzen Zahlen von 1 bis n2, also (n2 + 1)*n2/2, andererseits aber auch n*s. Man sieht also, daß für ein normales magisches Quadrat der Ordnung n die Summe s, die dann auch als magische Konstante bezeichnet wird, den Wert s = (n2 + 1)*n/2 hat.

Da die magischen Eigenschaften nach den obigen Überlegungen unverändert bleiben, wenn man alle Einträge mit -1 multipliziert und anschließend überall die Konstante n2+1 addiert, so entsteht aus jedem normalen magischen Quadrat ein neues mit denselben Eigenschaften. Beide Quadrate heißen komplementär zueinander, da sich die Einträge an denselben Stellen in beiden Quadraten jeweils zu n2 + 1 ergänzen. Allgemein nennt man in einem normalen magischen Quadrat zwei Einträge, die sich zu n2 + 1 ergänzen, komplementär zueinander. Sind in einem normalen magischen Quadrat je zwei bezüglich des Mittelpunktes symmetrische Einträge komplementär zueinander, so heißt das magische Quadrat symmetrisch.


Für n = 1 gibt es (bis auf multiplikative Vielfache) nur das triviale magische Quadrat mit dem einzigen Eintrag 1.

Versucht man für n = 2 ein magisches Quadrat der Form

a b
c d

zu finden, so folgt wegen s = a + b = a + c = a + d = b + c sofort die Gleichheit aller Zahlen, was aber in der Definition ausdrücklich verboten wurde. Es gibt also kein magisches Quadrat der Ordnung 2

Zur Bestimmung magischer Quadrate der Ordnung 3 geht man von dem mittleren Eintrag m in der folgenden Anordnung aus.

a b c
h m d
g f e

Es muß nämlich gelten, daß die Summe über die beiden Hauptdiagonalen und die Zeile und die Spalte, in der m enthalten ist, insgesamt 4s beträgt und jeden Eintrag außer m genau einmal sowie m selbst insgesamt viermal enthält. Nun ist aber die Gesamtsumme über alle drei Zeilen gleich 3s und in ihr ist jeder Eintrag genau einmal enthalten. Also gilt 3*m = s. (Für ein normales magisches Quadrat der Ordnung 3 ist die magische Konstante s aber nach der oben angegebenen Formel gleich 15, also notwendigerweise m = 5.) Hieraus folgen die Beziehungen a + e = b + f = c + g = d + h = 2*m. Da die Summe der absteigenden Hauptdiagonalen gleich 3*m ist, können nicht beide Zahlen a und e kleiner als m sein. Wegen der oben angestellten Symmetrieüberlegungen darf man also annehmen, daß a echt größer als m ist, sich also in der Form m + x mit einer positiven Zahl x schreiben läßt. Ebenso gilt aber auch, daß entweder c oder g echt größer als m sein muß. Notfalls nach Spiegelung an der absteigenden Hauptdiagonalen, darf man also c = m + y mit einer positiven, von x verschiedenen Zahl y annehmen. Gegebenenfalls nach Spiegelung an der senkrechten Mittellinie darf man sogar von x < y ausgehen. Damit sind dann aber e = m - x und g = m - y festgelegt. Über die Bedingungen für die Zeilensummen und Spaltensummen legen die Werte der vier Einträge in den Ecken aber jeden anderen Wert im magischen Quadrat der Ordnung 3 fest. Man erhält also

m + x m - (x + y) m + y
m - (x - y) m m + (x - y)
m - y m + (x + y) m - x

Hierin ist m eine beliebige positive ganze Zahl und x < y sind positive ganze Zahlen, die aber x + y < m erfüllen müssen. Für den Fall des normalen magischen Quadrates, also m = 5, ist nur x = 1 und y = 3 möglich. Daher ist das (bis auf die oben beschriebenen Drehungen und Spiegelungen) einzige normale magische Quadrat der Ordnung 3 das folgende, das auch noch symmetrisch ist:

6 1 8
7 5 3
2 9 4

Ein normales magisches Quadrat der Ordnung n = 4 findet man in dem Kupferstich Melencolia I von Albrecht Dürer:

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Ein weiteres normales magisches Quadrat der Ordnung 4 ist das folgende:

1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4

Dieses hat gegenüber dem Dürerschen Quadrat noch weitere "magische Eigenschaften", welche die Nebendiagonalen betreffen. Unter einer absteigenden Nebendiagonalen versteht man in einem Quadrat der Ordnung n die n Einträge, die jeweils im gleichen Abstand rechts von der absteigenden Hauptdiagonalen angeordnet sind, wobei man sich das Quadrat zweimal nebeneinander geschrieben denkt. Entsprechend verlaufen die aufsteigenden Nebendiagonalen parallel zur aufsteigenden Hauptdiagonalen. Im letzten Beispiel sind die absteigenden Nebendiagonalen also (12, 2, 5, 15), (7, 11, 10, 6) und (14, 8, 3, 9), und die aufsteigenden Nebendiagonalen sind (6, 16, 11, 1), (9, 5, 8, 12) und (4, 10, 13, 7). Man sieht, daß auch hier sämtliche Summen über alle Nebendiagonalen gleich der magischen Konstanten 34 sind. Derartige magische Quadrate, bei denen diese Bedingung erfüllt ist, nennt man panmagisch. Man sieht sofort, daß Dürers Quadrat nicht panmagisch ist.

Neben den oben angegebenen Symmetrieoperationen, welche die magischen (und gegebenenfalls panmagischen) Eigenschaften eines Quadrates erhalten, gibt es noch weitere Transformationen, die ein magisches Quadrat in ein anderes überführen:

1. Vertauscht man in einem magischen Quadrat zwei Zeilen miteinander, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind, und vertauscht anschließend diejenigen zwei Spalten miteinander, die denselben Abstand vom Mittelpunkt haben, wie die vertauschten Zeilen, so entsteht wieder ein magisches Quadrat.

Vertauscht man etwa im letzten Beispiel jeweils die erste und letzte Zeile bzw. Spalte, so entsteht das folgenden magische Quadrat, das aber nicht mehr panmagisch ist.

4 6 9 15
11 13 2 8
5 3 16 10
14 12 7 1

2. Ein magisches Quadrat gerader Ordnung n = 2*m kann man sich nach dem folgenden Schema (links) in vier quadratische Blöcke der Ordnung m zerlegt denken. Setzt man sie wie in dem Schema rechts wieder zusammen, so entsteht wiederum ein magisches Quadrat der Ordnung n.

A B
C D
   
D C
B A

Führt man dies am magischen Quadrat Dürers durch, so erhält man

7 12 9 6
14 1 4 15
2 13 16 3
11 8 5 10

3. Ein magisches Quadrat ungerader Ordnung n = 2*m + 1 kann man sich nach dem folgenden Schema (links) in vier quadratische Blöcke A, B, C, D der Ordnung m und eine zusätzliche zentrale Zeile und Spalte zerlegt denken. Die zentrale Zeile bzw. Spalte zerlegt man weiter in jeweils zwei Halbzeilen b, d bzw. Halbspalten a, c der Länge m, so daß einzig das mittlere Element m übrigbleibt. Setzt man alle Teile wie in dem Schema rechts wieder zusammen, so entsteht wiederum ein magisches Quadrat der Ordnung n.

A a B
b m d
C c D
   
D c C
d m b
B a A

Führt man dies an dem folgenden normalen magischen Quadrat der Ordnung 5 (links) durch, so erhält man das rechts stehende Quadrat.

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
   
21 3 19 10 12
2 9 25 11 18
20 22 13 4 6
8 15 1 17 24
14 16 7 23 5

Man kann für jede Ordnung n > 2 mindestens ein normales magisches Quadrat der Ordnung n angeben.

Erstellen eines Quadrates mit ungeradem n

Man trägt die Zahlen von 1 bis n2 entlang der aufsteigenden Nebendiagonalen in aufsteigender Ordnung ein (vgl. das obenstehende linke Quadrat). Man beginnt mit der 1 in der Mitte der oberen Zeile und setzt die Diagonale in der unteren Zeile fort, wenn man am oberen Rand anstößt. Ebenso setzt man sie am linken Rand fort, wenn man am rechten Rand anstö&szligt. Ist die jeweilige Diagonale gefüllt, so beginnt man die nächste, die sich unterhalb der gerade gefüllten befindet und zwar mit dem Element das sich unterhalb dem zuletzt gemachten Eintrag befindet. (Im obigen Beispiel also erstmals mit der 6 unterhalb der 5, und später dann mit der 11 unterhalb der 10.) Übrigens ist das so entstehende normale magische Quadrat auch stets symmetrisch.


Zur Erstellung eines magischen Quadrates gerader Ordnung gibt es zwei Wege: Einen für magische Quadrate der Ordnung 4k und einen für solche der Ordnung 4k+2.

Erstellen eines Quadrates der Ordnung n=4k

Man zeichnet zuerst ein Quadrat mit der Seitenlänge 2k und verteilt in diesem Quadrat 2k2 Punkte (O) so, daß in jeder Zeile und in jeder Spalte je k Punkte stehen, beispielsweise

O O
O O
O O
O O

Nun dreht man dieses Quadrat um seinen rechten unteren Eckpunkt um 90, 180 und 270o und erhält ein Quadrat der Ordnung 4k.

O O O O
O O O O
O O O O
O O O O
O O O O
O O O O
O O O O
O O O O

Als nächstes zählt man von oben links zeilenweise von 1 bis n2 nach unten rechts, schreibt aber die Zahlen nur in die mit dem Punkt markierten Kästchen.

3 4 5 6
11 12 13 14
17 18 23 24
25 26 31 32
33 34 39 40
41 42 47 48
51 52 53 54
59 60 61 62

Abschließend zählt man von unten rechts zeilenweise nach oben links und schreibt die Zahlen nur in die noch freien Kästchen.

64 63 3 4 5 6 58 57
56 55 11 12 13 14 50 49
17 18 46 45 44 43 23 24
25 26 38 37 36 35 31 32
33 34 30 29 28 27 39 40
41 42 22 21 20 19 47 48
16 15 51 52 53 54 10 9
8 7 59 60 61 62 2 1

Auf diese Weise entsteht ein symmetrisches magisches Quadrat der Ordnung n=4k.


Erstellen von Quadraten der Ordnung n=4k+2

Zuerst teilt man das Quadrat in 4 Quadranten und bearbeitet den linken oberen Quadranten, also ein Quadrat der Ordnung 2k+1. In dessen erste Zeile setzt man k schwarze Punkte, einen grünen und einen roten, die restlichen k-1 Kästchen bleiben weiß. Nun füllt man die anderen Zeilen mit Punkten so, dass jede abfallende Gerade nur Punkte einer Farbe enthält (weiß gilt hierbei auch als Farbe). Jetzt spiegelt man die roten Punkte nach rechts (in den rechten oberen Quadranten), die grünen nach unten (in den linken unteren Quadranten) und die schwarzen in alle drei anderen Quadranten. Für k=2 sieht dies nun so aus:

o
o
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o


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o

Nun füllt man das ganze Quadrat mit Zahlen, zuerst in die Kästchen mit schwarzen Punkten. Man geht zeilenweise vor und beginnt links oben. Wenn das x-te Kästchen einen schwarzen Punkt enthält, schreibt man die Zahl x hinein, usw. Mit den grünen Kästchen verfährt man analog, beginnt aber rechts oben und zählt zeilenweise immer von rechts nach links. Bei den roten Kästchen beginnt man links unten und zählt von links nach rechts und die Zeilen von unten nach oben. Zum Schluß verfährt man noch genauso mit den weißen Kästchen, beginnt dabei aber rechts unten. So erhält man ein symmetrisches normales magisches Quadrat:

1
2
8
94
96
95
97
93
9
10
90
12
13
17
85
86
84
18
19
81
71
79
23
24
26
75
27
28
72
80
40
62
68
34
35
36
37
63
69
61
41
49
53
57
45
46
54
58
52
50
51
59
48
47
55
56
44
43
42
60
70
39
38
64
65
66
67
33
32
31
30
29
73
74
76
25
77
78
22
21
20
82
83
87
16
15
14
88
89
11
91
92
98
7
6
5
4
3
99
100

Nachdem also die Existenz normaler magischer Quadrate beliebiger Ordnung n > 2 gesichert ist, bleibt an mathematischen Fragestellungen aber noch die genaue Anzahl "verschiedener" (normaler, symmetrischer, panmagischer etc.) magischer Quadrate der jeweiligen Ordnung zu klären, was noch keineswegs abschließend gelungen ist.


Das folgende magische Quadrat der Ordnung 6 kann man im Geschichtsmuseum der chinesischen Stadt Xian in der Provinz Shaanxi bewundern. Es zeigt, daß sich auch chinesische Mathematiker erfolgreich mit der Konstruktion magischer Quadrate beschäftigt haben.

Wegen der ungünstigen Beleuchtung des Bildes seien die Zahlen hier noch einmal wiederholt.

28 4 3 31 35 10
36 18 21 24 11 1
7 23 12 17 22 30
8 13 26 19 16 29
5 20 15 14 25 32
27 33 34 6 2 9


Weiterführende Literatur

Jean-Luc Chabert (et al.), A History of Algorithms - From the Pebble to the Microchip, Springer, Berlin 1999. ISBN 3-540-63369-3
2. Magic Squares
(Das Buch enthält zahlreiche Kurzbiographien von Mathematikern.)


Eine weitere Web-Seite über magische Quadrate finden Sie unter der folgenden externen Adresse: http://www.mathe-spass.de/dm99_so3.htm