Die regelmäßigen Flächenaufteilungen

M. C. Eschers


Die Wiedergabe der Bilder M.C.Eschers auf diesen Web-Seiten erfolgt mit freundlicher Genehmigung der Escher-Foundation.

In mathematischer Sprechweise handelt es sich bei den "regelmäßigen Flächenaufteilungen" um Parkette. Dabei ist ein Parkettstein, (bei Escher ein "Motiv") eine beliebige Teilmenge der Ebene, die sich durch umkehrbare stetige Deformation aus einer abgeschlossenen Kreisscheibe herstellen läßt, die also zu einer solchen Kreisscheibe homöomorph ist.

Damit ein zulässiges Parkett entsteht, müssen nun kongruente Exemplare eines einzelnen Parkettsteins nebeneinandergelegt werden, so daß sie die Ebene lückenlos und überlappungsfrei (bis auf Randpunkte) überdecken, es sich also tatsächlich um eine Flächenaufteilung handelt. Weiterhin muß, um der Forderung nach Regelmäßigkeit zu genügen, das so entstehende Muster in mindestens zwei verschiedene Richtungen periodisch sein und jeder Parkettstein muß durch eine Symmetrieabbildung des gesamten Musters auf jeden anderen Parkettstein abgebildet werden können. (Ist diese letzte Forderung nicht mehr erfüllt, so spricht man nur noch von Mosaiken. Auch zu dieser allgemeineren Art der Flächenaufteilung hat Escher viele grafische Beispiele angefertigt.) Die möglichen Symmetrieabbildungen der Ebene sind hierbei Translationen (T), Drehungen (C), Spiegelungen (S) und Gleitspiegelungen (G).

Man kann nun zeigen, daß wegen der Forderung nach Periodizität des gesamten Musters als mögliche Drehungen nur solche um 60o (C6), um 90o (C4), um 120o (C3) und um 180o, also Punktspiegelungen (P), in Frage kommen. (Diese Einschränkung der Drehsymmetrie ist auch als kristallographische Restriktion bekannt.)

Bei der oben abgebildeten Symmetriezeichnung Nr. 25 Eschers hat der einzelne Parkettstein die Form eines Reptils. Offensichtlich überdecken diese Reptilien die Ebene lückenlos und überlappungsfrei und das Muster ist in zwei verschiedenen Richtungen periodisch, was man mühelos an den Richtungen erkennt, in denen sich jeweils Tiere gleicher Farbe wiederholen. Weiterhin kann man offensichtlich jedes Tier einer bestimmten Farbe durch eine Parallelverschiebung des gesamten Musters auf jedes vorgegebene Tier derselben Farbe abbilden. Weiterhin lassen 120o-Drehungen um jeden Punkt, an dem jeweils drei Pfoten, Knie oder Köpfe verschiedenfarbiger Tiere zusammenstoßen, das gesamte Muster (unter Vernachlässigung der Färbung!) unverändert. Daher läßt sich auch jedes Tier einer Farbe auf jedes benachbarte Tier einer anderen Farbe abbilden. Damit läßt sich aber durch Nacheinanderanwendung beider Symmetrieabbildungen jedes Tier auf jedes andere abbilden. Es handelt sich also tatsächlich um ein Parkett.

Die schier unerschöpfliche Vielfalt derartiger Parkette kann nun auf verschiedene Weisen in Klassen verwandter Parkette eingeteilt werden. Dabei soll hier eine Klassifikation nur nach der Form des einzelnen Parkettsteins erfolgen, die Farbgebung und innere Gestaltung der Parkettsteine bleibt also unberücksichtigt. (Natürlich wurden in der Mathematik in der Zwischenzeit, seit Mitte der 50er Jahre, auch farbige Parkette untersucht, jedoch steigt die Anzahl der Klassen mit der Anzahl der verwendeten Farben hierbei stark an. Genaueres hierüber findet man in dem Buch Farbige Parkette von K. Bongartz, W. Borho, D. Mertens und A. Steins.) Faßt man für ein beliebiges Parkett sämtliche Symmetrieabbildungen zusammen, die das Parkett als Ganzes auf sich abbilden, so erhält man die Gruppe der Symmetrieabbildungen dieses Parketts. In der oben angegebenen Arbeit zeigte nun George Polya, daß auf diese Weise höchstens 17 verschiedene Gruppen entstehen die Ornamentgruppen. Von diesen lassen sich jedoch nur 16 durch wirkliche Parkette realisieren. Damit hat man die Möglichkeit, sämtliche Parkette nach diesem algebraischen Gesichtspunkt in 16 Klassen einzuteilen.

Eine ganz andere Klassifikation ergibt sich durch eine mehr geometrische Betrachtungsweise. Man kann die Punkte auf dem Rand eines einzelnen Parkettsteins danach bewerten, zu wie vielen verschiedenen Parkettsteinen im Parkett sie gehören. Man bezeichnet Punkte, die zu mindestens drei verschiedenen Parkettsteinen gehören, als Eckpunkte und Punkte, die zu zwei Parkettsteinen gehören, als Kantenpunkte. Eine Kante ist dann eine zusammenhängende Linie aus Kantenpunkten, die genau zwei Eckpunkte miteinander verbindet. An einer Kante stoßen also genau zwei Parkettsteine aneinander. Das System aus Kanten und Ecken eines Parketts kann man sich sehr gut als "Netz" vorstellen mit den Eckpunkten als "Knoten". Umläuft man nun einen einzelnen Parkettstein (etwa im Uhrzeigersinn) und notiert für jeden Eckpunkt seinen Wert, so erhält man eine Sequenz von natürlichen Zahlen, die bis auf zyklische Vertauschungen für alle Parkettsteine desselben Parketts dieselbe ist. Man bezeichnet diese Sequenz auch als Knüpfmuster des betreffenden Parketts. F. Laves zeigte nun 1931, daß es nur genau 11 verschiedene Knüpfmuster für Parkette gibt. Daher kann man sämtliche Parkette nach diesem geometrischen Gesichtspunkt in 11 Klassen einteilen. Eine Realisierung für jedes dieser Knüpfmuster durch einfachste Parkettsteine findet man in den folgenden Abbildungen.

Bei dem oben abgebildeten Parkett der Symmetriezeichnung Nr. 25 erhält man übrigens das Knüpfmuster (3,3,3,3,3,3).

Will man beide Klassifikationen gleichzeitig durchführen, so stellt sich heraus, daß nicht jede Symmetriegruppe mit jedem Knüpfmuster verträglich ist, so daß sich von den 16*11=176 Möglichkeiten nur 54 durch tatsächliche Parkette realisieren lassen. Also kann man sämtliche Parkette, und damit auch die Symmetriezeichnungen und die danach gestalteten Grafiken Eschers, in 54 Klassen einteilen. Es zeigt sich dann, daß über die Hälfte der Klassen von Escher nicht realisiert wurden. Dies liegt aber größtenteils an zwei Selbstbeschränkungen Eschers. Zum einen schließt er in seinem Notizbuch von 1942 das Knüpfmuster (3,12,12) explizit von einer graphischen Realisierung aus:

[Mosaik-]Typen mit mehr als zwei [verschiedenen] Motiven werden hier nicht behandelt, genausowenig wie solche, bei denen mehr als sechs Motive in einem Eckpunkt zusammenstoßen.

Zum anderen schreibt er in Regelmatige vlakverdeling über die Konturlinien seiner "Motive":

Leblose Gegenstände, die als ein bestimmtes, bekanntes Ding zu erkennen sind, gehören fast immer zu der Kategorie der von Menschen hergestellten Gebrauchsgegenstände. Ihr Schattenbild wird meistens durch eine Linie begrenzt, die zu simpel, zu gerade oder zu einfachgebogen, zu wenig bizarr ist. Auch sind sie öfters zweiseitig symmetrisch.

Fordert man daher noch, daß keine Kante eines Parkettsteins aus einem einzelnen Geradenstück besteht, so gelangt man zur Definition der Escher-Parkette, wie sie erstmals Erhard Quaisser in seinem Buch Diskrete Geometrie 1994 vorgeschlagen hat. Wie Heinrich Heesch und Otto Kienzle bereits 1963 in ihrem Buch Flächenschluß gezeigt hatten, gibt es dann genau 28 verschiedene Klassen solcher (Escher-)Parkette, in der unten folgenden Liste nach Gruppen mit gleichem Knüpfmuster zusammengefasst.

Die Einordnung eines Parkettes in eine der Klassen geschieht am einfachsten durch ihre charakteristische Abbildungssequenz: Man geht wiederum den Rand eines einzelnen Parkettsteins ab und notiert für jede Kante die Symmetrieabbildung, die den umlaufenen Parkettstein auf denjenigen abbildet, der an dieser Kante an ihn stößt.

Bei dem reptilförmigen Parkettstein der Symmetriezeichnung Nr. 25 ergeben sich dann drei Drehungen um 120o, also C31, C32, C33, jeweils gefolgt von der entgegengesetzten Drehung, also C31-1, C32-1, C33-1. Drehzentrum ist dabei der Randpunkt des Parkettsteins, an dem drei Köpfe, drei Knie oder drei Pfoten zusammentreffen. Hieraus ergibt sich genau die charakteristische Abbildungssequenz des Escher-Parketts EP7.


Knüpfmuster Escher-Parkett-Klasse Charakteristische Abbildungssequenz
(3,3,3,3,3,3) EP1 T1T2T3 T1-1T2-1T3-1
EP2 TG1G1-1T-1 G2G2-1
EP3 TG1G2T-1 G2-1G1-1
EP4 TP1P2T-1 P3P4
EP5 TGG-1 T-1P1P2
EP6 P1G1P2G2 G1-1G2-1
EP7 C31C31-1 C32C32-1 C33C33-1
(3,3,3,3,6) EP8 PC3C3-1C6C6-1
(3,3,3,4,4) EP9 TP1P2 T-1P3
EP10 TGG-1T-1P
(3,3,4,3,4) EP11 G1G2G1-1 G2-1P
EP12 PC41C41-1 C42C42-1
(3,4,6,4) EP13 C6C6-1C3C3-1
(3,6,3,6) EP14 C31C31-1 C32C32-1
(3,12,12) EP15 PC3C3-1
(4,4,4,4) EP16
T1T2 T1-1T2-1
EP17 TGT-1G-1
EP18 G1G2 G2-1G1-1
EP19 P1P2P3 P4
EP20 TP1T-1P2
EP21 P1G1P2G2
EP22 G1G2 G1-1G2-1
EP23 P1GG-1P2
EP24 C41C41-1 C42C42-1
(4,8,8) EP25 PC4C4-1
(6,6,6) EP26 P1P2P3
EP27 PGG-1
EP28 PC6C6-1

M. C. Escher hat durch die obige Beschränkung in seinem Notizbuch genau die Klasse EP15 ausgeschlossen und er hat in seinen Grafiken (und Skizzenbüchern) 26 von den restlichen 27 Klassen realisiert. Einige davon sind am Ende dieser Seite zu bewundern.


In seiner letzten Symmetriezeichnung (Nr. 137) hat Escher ein Mosaik dargestellt, das zwar mit einem einzigen "Parkettstein" auskommt, das auch periodisch in zwei verschiedene Richtungen ist, bei dem aber sich nicht jeder derartige "Parkettstein" auf jeden anderen durch eine Symmetrieabbildung des gesamten Mosaiks abbilden läßt.

Nachdem Escher in einem Buch des Mathematikers H. S. M. Coxeter auf die Darstellung des Poincareschen Modells einer Nicht-Euklidischen Ebene gestoßen war, hat er die Idee der regelmäßigen Flächenaufteilung auch auf diese Ebene übertragen. Die Resultate sind in den Holzschnitten Kreislimit I - IV zu bewundern.

Leider hat Escher nicht mehr den Beginn der Fraktalen Geometrie erlebt, in der ja Figuren mit wahrhaft "bizarren" Rändern untersucht werden. Es bleibt daher nur Spekulation, zu welchen Grafiken er wohl durch die Parkettierungsmöglichkeiten mit diesen sogenannten "Fraktilen" angeregt worden wäre.


Eschers "Symmetriezeichnungen" als Beispiele