Oktaeder

Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel des Oktaeders und des Radius r der in das Oktaeder einbeschriebenen Kugel legt man eine Schnittebene durch zwei gegenüberliegende Ecken E1 und E2 des Oktaeders und die zwei Mitten M1 und M2 von gegenüberliegenden Kanten. Offensichtlich liegt auch das Zentrum Z des Oktaeders in dieser Schnittebene. Die Ebene schneidet die Oberfläche des Oktaeders also in den vier Seitenmitten von vier Dreiecksflächen des Oktaeders. Diese Seitenmitten sind gleichzeitig Höhen in den betreffenden gleichseitigen Dreiecken und haben daher die Länge h = a/2*sqrt(3).

Schließlich sei noch N der Punkt auf der Höhe M1E1, der diese im Verhältnis M1N : NE1 = 1 : 2 teilt. Er ist der Schwerpunkt des zugehörigen Oktaederdreiecks und damit Berührpunkt der einbeschriebenen Kugel.

Nun gilt ZE1 = R, ZN = r und E1M1 = a/2*sqrt(3), E1N = a/3*sqrt(3) sowie NM1 = a/6*sqrt(3) nach bekannten Formeln für das gleichseitige Dreieck der Kantenlänge a.

In geeigneten rechtwinkligen Dreiecken ergeben sich daher durch Anwendung des Satzes des Pythagoras:

R2 + a2/4 = 3/4*a2,

r2 + a2/12 = a2/4.

Hieraus ergeben sich sofort

R = a/2*sqrt(2)

und

r = a/6*sqrt(6).

Zur Bestimmung des Volumens V des Oktaeders denkt man sich das Oktaeder vom Zentrum Z aus in 8 gleiche Pyramiden zerlegt, deren Grundfläche gleich der Fläche des gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a ist, also G = a2/4*sqrt(3), und deren Höhe der Radius r der einbeschriebenen Kugel ist. Also gilt

V = 8*(1/3)*r*G = 1/3*sqrt(2)*a3.

Die Oberfläche des Oktaeders besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge a, also

O = 8*G = 2*sqrt(3)*a2.