Die Prismen und Antiprismen


Die halbregulären Prismen besitzen zwei kongruente n-Ecke als Boden- und Deckfläche. Die n Seitenflächen sind jeweils Quadrate von derselben Seitenlänge wie die n-Ecke. Für n = 4 entsteht hierbei nochmals der Würfel.

Pentagonales Prisma

Da die Grundfläche des Prismas ein n-Eck der Fläche F = n*a2/(4*tan(pi/n)) ist und seine Höhe die Länge a hat, gilt für sein Volumen

V = a*F = n*a3/(4*tan(pi/n)).

Die Oberfläche des Prismas besteht aus zwei regelmäßgen n-Ecken der Fläche
F = n*a2/(4*tan(pi/n)) und n Quadraten. Also gilt

O = 2*F + n*a2 = n*a2*(1 + 1/(2*tan(pi/n))).

Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel eines n-seitigen Prismas der Kantenlänge a legt man eine Schnittebene durch das Zentrum Z, eine Ecke E und den Mittelpunkt M eines der beiden n-Ecke des Prismas.

In dem rechtwinkligen Dreieck ZME ist ME der Umkreisradius des n-Ecks, also r = a/(2*sin(pi/n)), ZM die halbe Höhe des Prismas, also a/2, und ZE = R. Also gilt nach dem Satz des Pythagoras:

R2 = r2 + a2/4.

Hieraus ergibt sich sofort

R = a/2*sqrt(1 + 1/sin2(pi/n)).


Da die halbregulären Prismen wie die archimedischen Körper eine umschreibende Kugel besitzen, haben sie ebenso wie diese Körper jeweils einen dualen Körper. Dabei handelt es sich um halbreguläre Dipyramiden.


Die halbregulären Antiprismen besitzen ebenfalls zwei kongruente n-Ecke als Boden- und Deckfläche. Im Unterschied zum Prisma sind beide Flächen aber um einen Winkel von 180/n Grad gegeneinander verdreht. Die n Seitenflächen sind jetzt jeweils gleichseitige Dreiecke. Für n=3 entsteht hierbei nochmals das Oktaeder.

Pentagonales Antiprisma

Auch die Antiprismen besitzen mit einer umschreibenden Kugel jeweils einen dualen Körper. Dabei handelt es sich um Trapezoeder.