Reguläre Polytope im vierdimensionalen Raum


Im Jahre 1880 hat W. Stringham erstmals reguläre Polytope im vierdimensionalen Raum untersucht und gezeigt, daß es genau die folgenden sechs derartigen Polytope gibt.

Name Hyperflächentyp n0 n1 n2 n3 Dualität
5-Zell Tetraeder 5 10 10 5 selbstdual
8-Zell Hexaeder 16 32 24 8 dual zum 16-Zell
16-Zell Tetraeder 8 24 32 16 dual zum 8-Zell
24-Zell Oktaeder 24 96 96 24 selbstdual
120-Zell Dodekaeder 600 1200 720 120 dual zum 600-Zell
600-Zell Tetraeder 120 720 1200 600 dual zum 120-Zell


Reguläre Polytope in höherdimensionalen Räumen


In Räumen mit mehr als 4 Dimensionen gibt es nur jeweils genau drei reguläre Polytope, die dem Tetraeder, dem Hexaeder und dem Oktaeder im dreidimensionalen Raum entsprechen.

1) Das von n+1 regulären Polytopen der Dimension n-1 begrenzte n-dimensionale Polytop, von denen jedes n Hyperflächen der Dimension n-2 besitzt. Dieses Polytop hat n+1 Ecken und ist selbstdual.

2) Das von 2n regulären Polytopen der Dimension n-1 begrenzte n-dimensionale Polytop, von denen jedes 2n-2 Hyperflächen der Dimension n-2 besitzt. Dieses Polytop hat 2n Ecken und ist dual zu 3).

3) Das von 2n Polytopen der Dimension n-1 begrenzte n-dimensionale Polytop, von denen jedes n Hyperflächen der Dimension n-2 besitzt. Dieses Polytop hat 2n Ecken und ist dual zu 2).