Rhombenkörper


Hierunter versteht man konvexe Körper, deren Oberflächen ausschließlich aus Rhomben gebildet werden. Handelt es sich dabei sogar um jeweils kongruente Rhomben, so spricht man genauer von Rhombenisoedern (grch. iso = gleich).

Da jeder Rhombus ein spezielles Parallelogramm ist, gehören die Rhombenkörper zu der allgemeineren Klasse konvexer Körper, deren Oberflächen nur aus Parallelogrammen bestehen, den Parallelogrammkörpern.

Betrachtet man eine feste Kante a eines solchen Parallelogrammkörpers, dann stoßen an dieser Kante zwei Parallelogramme zusammen, so daß die gegenüberliegenden Seiten der Parallelogramme, also zwei weitere Kanten des Körpers, jeweils dieselbe Länge wie a haben. Dieses Argument läßt sich auf die beiden neuen Kanten ebenfalls anwenden. Man erhält auf diese Weise einen den Körper umlaufenden "Kranz" von Kanten gleicher Länge, der wegen der Konvexität des Körpers zu einem "Band" von Parallelogrammen führt, für die die Längen von jeweils zwei Gegenseiten sämtlich übereinstimmen. Eine derartige Folge von Begrenzungsflächen eines konvexen Polyeders nennt man eine Zone. Da sämtliche Flächen einer Zone aus Parallelogrammen bestehen, gehen der "obere" und "untere" Rand einer solchen Zone durch eine Parallelverschiebung in Richtung und Länge der oben fest gewählten Kante a ineinander über. Man kann offensichtlich die Länge dieser Parallelverschiebung beliebig ändern, ohne die Parallelogramm-Eigenschaft der Seitenflächen zu ändern. Insbesondere kann man (für die Länge 0) die Zone ganz aus dem Parallelogrammkörper entfernen und so zu einem Parallelogrammkörper gelangen, der eine um 1 verminderte Zonenanzahl besitzt. (Da in einer räumlichen Ecke des Körpers jedoch mindestens drei nichtparallele Kanten zusammenlaufen, muß es mindestens drei Zonen geben!)

Übrigens kann man auch durch "Auftrennen" eines gegebenen Parallelogrammkörpers an einer geeigneten Kantenfolge und "Einfügen einer Zone" zu einem weiteren Parallelogrammkörper gelangen, dessen Zonenzahl um 1 erhöht ist.

Man kann nun zu jeder Kante des Parallelogrammkörpers genau eine Zone finden, zu der die Kante gehört, der Körper läßt sich also vollständig durch seine Zonen beschreiben. Wegen der Konvexität des Körpers kreuzen sich je zwei Zonen aber genau in zwei Parallelogrammen, eines "vorne" und eines "hinten". Andererseits gehört jede Fläche des Körpers zu genau zwei Zonen. Es gibt also soviele Paare von Flächen, wie es Kombinationen von je zwei Zonen gibt. Bezeichnet p (> 2) die Anzahl der Zonen eines Parallelogrammkörpers, so muß für die Anzahl f seiner Flächen gelten

f = p(p-1).

Es kann daher nur Parallelogrammkörper mit 6, 12, 20, 30, 42, ... Flächen geben. (Die Existenz derartiger Körper läßt sich übrigens mit ein bißchen Vektorrechnung auch leicht nachweisen.)

Für die Kantenanzahl k eines Parallelogrammkörpers gilt dann, da jede Fläche vier Kanten besitzt und jede Kante zu zwei Flächen gehört,

k = 2*p(p-1).

Hieraus ergibt sich nach der Eulerschen Polyederformel für die Anzahl e der Ecken

e = p(p-1) + 2.

Oben wurde gezeigt, wie man durch "Verlängern" oder "Verkürzen" einer Zone eines Parallelogrammkörpers einen neuen Parallelogrammkörper erhält. Man kann hierdurch dann aber die Längen aller Kanten gleich machen und erhält so aus einem gegebenen Parallelogrammkörper einen Rhombenkörper. Jedoch ist dabei im allgemeinen nicht zu erwarten, daß alle entstehenden Rhomben kongruent sind. Dies erfordert nämlich noch, daß die Winkel zwischen den Richtungen der erzeugenden Kanten von je zwei Zonen gleich sind. Es muß bei p Zonen also p Ursprungsgeraden im Raum geben, von denen je zwei den gleichen Winkel einschließen. Dies ist aber nur für maximal p = 6 möglich, wenn die Geraden jeweils durch zwei gegenüberliegende Punkte eines im Ursprung zentrierten Ikosaeders gehen.

Bezeichnet f für ein Rhombenisoeder die Anzahl der beteiligten Rhomben, so existieren genau für die folgenden Werte von f Rhombenisoeder und die Rhomben weisen jeweils das angegebene Diagonalenverhältnis rho auf.

f Name Diagonalenverhältnis
6 spitzes Rhombenhexaeder/Rhomboeder 1 < rho
6 Hexaeder (Würfel) 1
6 stumpfes Rhombenhexaeder/Rhomboeder 1 < rho < sqrt(3)
12 Rhombendodekaeder (1. Art) sqrt(2)
12 Rhombendodekaeder 2. Art phi
20 Rhombenikosaeder phi
30 Rhombentrikontaeder phi

Dabei bedeutet phi=(1 + sqrt(5))/2 das Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Übrigens kann jedes Rhomboeder und die Rhombendodekaeder zum lückenlosen Füllen des dreidimensionalen Raumes benutzt werden, wie S. Bilinski in seiner Arbeit Über Rhombenisoeder 1960 zeigte. Dort wurde auch das Rhombendodekaeder 2. Art erstmals beschrieben. (Die oben angegebenen allgemeinen Überlegungen folgen im wesentlichen dieser Arbeit.)

Das Rhombentrikontaeder wurde von Johannes Kepler entdeckt und wird daher manchmal auch Keplerscher Körper genannt. Das (ebenfalls von Kepler beschriebene) Rhombendodekaeder 1. Art war dagegen wohl schon Luca Pacioli bekannt. Kepler betrachtete Rhombenisoeder als halbreguläre Körper, da bei ihnen zwar alle Kanten gleich lang sind und alle Flächen kongruent, aber nicht alle Flächenwinkel gleich groß, wie dies bei den regulären Körpern der Fall sein muß. Er schloß allerdings die Rhomboeder explizit durch komplizierte Argumente als "nicht regulär genug" aus und übersah sowohl das Rhombendodekaeder 2. Art als auch das Rhombenikosaeder.

Eine Java-animierte Darstellung der Rhombenisoeder ist hier zu finden.