Tetraeder

Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel des Tetraeders und des Radius r der in das Tetraeder einbeschriebenen Kugel legt man eine Schnittebene durch eine Kante des Tetraeders und die Mitte M1 der gegenüberliegenden Kante. Die zu der Kante gehörenden Ecken des Tetraeders seien E1 und E2. Offensichtlich liegt auch das Zentrum Z des Tetraeders in dieser Schnittebene. Die Ebene schneidet die Oberfläche des Tetraeders also in einer Kante und in zwei Seitenmitten von zwei Dreiecksflächen. Diese Seitenmitten sind gleichzeitig Höhen in den betreffenden gleichseitigen Dreiecken und haben daher die Länge h = a/2*sqrt(3). Die Schnittebene schneidet aus der Oberfläche des Tetraeders also ein gleichschenkliges Dreieck aus.

Schließlich sei noch N der Punkt auf der Höhe M1E1, der diese im Verhältnis M1N : NE1 = 1:2 teilt. Er ist der Schwerpunkt des zugehörigen Tetraederdreiecks und damit Berührpunkt der einbeschriebenen Kugel.

Nun gilt ZE1 = R, ZN = r und E1M1 = a/2*sqrt(3), E1N = a/3*sqrt(3) sowie NM1 = a/6*sqrt(3) nach bekannten Formeln für das gleichseitige Dreieck der Seitenlänge a. In geeigneten rechtwinkligen Dreiecken ergeben sich daher durch Anwendung des Satzes des Pythagoras:

R2 = r2 + a2/3,

(R+r)2 + a2/12 = 3/4*a2.

Aus der letzten Formel erhält man R + r = a*sqrt(2/3) und daher

r2 = 2/3*a2 - 2*a*R*sqrt(2/3) + R2.

Mit der ersten Formel ergibt dies

R = a/4*sqrt(6)

und schließlich

r = a/12*sqrt(6).

Weiterhin kann man in dem gleichschenkligen Dreieck E1E2M1 einige für das Tetraeder charakteristische Winkel ablesen. Der Winkel alpha bei M1 ist der Winkel zwischen zwei Höhen der Seitenflächen und damit der Winkel zwischen zwei Flächen des Tetraeders. Der Winkel beta bei E1, der wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks auch bei E2 auftritt, ist gleich dem Winkel zwischen einer Kante des Tetraeders und der Höhe eines Dreiecks des Tetraeders, das diese Kante durchstößt. Er ist also der Neigungswinkel der Kante gegenüber dieser Seitenfläche. Es gilt also

alpha + 2*beta = pi.

Schließlich ist der Winkel gamma bei Z der Winkel zwischen zwei Höhen des Tetraeders. Sein Gegenwinkel liegt mit alpha in einem Drachenviereck mit zwei rechten Winkeln. Daher gilt

alpha + gamma = pi.

Man kann alpha (und danach beta und gamma) beispielsweise mit dem Cosinussatz berechnen

a2 = h2 + h2 - 2*h*h*cos(alpha)= 2*h2*(1-cos(alpha)) = 3/2*a2*(1-cos(alpha)),

also

cos(alpha) = 1/3

und damit

alpha = arccos(1/3) = 70.528779...o.

Daraus ergeben sich

gamma = 109.471221...o

und

beta = gamma/2 = 54.735610...o.

Zur Bestimmung des Volumens V des Tetraeders denkt man sich das Tetraeder vom Zentrum Z aus in 4 gleiche Pyramiden zerlegt, deren Grundfläche gleich der Fläche des gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a ist, also G = a2/4*sqrt(3), und deren Höhe der Radius r der einbeschriebenen Kugel ist. Also gilt wegen V = 4/3*r*G

V = 1/12*sqrt(2)*a3.

Die Oberfläche des Tetraeders besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge a, also ist O = 4*G, das heißt

O = sqrt(3)*a2.