Vollkommene, befreundete und gesellige Zahlen


Vollkommene Zahlen

Zwei natürliche Zahlen n und m heißen befreundet (englisch "amicable"), wenn m die Summe der von n verschiedenen Teiler von n ist und n die Summe der von m verschiedenen Teiler von m. Man nennt eine natürliche Zahl vollkommen (englisch "perfect"), wenn sie mit sich selbst befreundet ist.

Die kleinsten Beispiele für vollkommene Zahlen sind

6=1+2+3 und 28=1+2+4+7+14.

Die vollkommenen Zahlen schienen den alten Griechen interessant zu sein, wahrscheinlich sogar schon früher den Babyloniern und Ägyptern. Euklid bewies um ca. 300 v. Chr. als Satz 36 des Buches IX seiner Elemente:

Satz: Ist für eine natürliche Zahl n die Zahl p=1+2+4+...+2n-1=2n-1 eine Primzahl, dann ist p*2n-1 eine vollkommene Zahl.

So fand man schon in der Antike neben 6 (n=2) und 28 (n=3) etwa noch 496 (n=5) und 8128 (n=7). Wie in diesen Beispielen muß dann n auch immer eine Primzahl sein.

Die Suche nach immer größeren vollkommenen Zahlen ist daher eng verbunden mit der Rekordjagd nach großen Primzahlen der Form 2n-1, die man heute Mersenneschen Primzahlen nennt. Die Frage, ob es eine größte vollkommene Zahl oder eine größte Mersennesche Primzahl gibt, ist allerdings noch offen. (Jedoch ist dies aus verschiedenen Gründen eher unwahrscheinlich.)

Den aktuellen Stand der Forschung über Mersennesche Primzahlen und daraus sich ergebende gerade vollkommene Zahlen kann man der unten angefügten Tabelle entnehmen.

Alle nach dem euklidischen Verfahren gefundenen vollkommenen Zahlen sind offensichtlich gerade und man kann sogar zeigen, daß jede gerade vollkommene Zahl durch dieses Verfahren gefunden werden kann. Es ist bis heute ebenfalls noch unbekannt, ob es überhaupt ungerade vollkommene Zahlen gibt.

Mersenneschen Primzahlen und vollkommene Zahlen

In der folgenden Tabelle sind in fortlaufender Numerierung die Mersenneschen Primzahlen Mp durch ihre erzeugende Primzahl p angegeben. Zusätzlich ist die Stellenanzahl von Mp und der vollkommenen Zahl Mp*2p-1 angegeben.

Nr. p Dezimalstellen von Mp Dezimalstellen von Mp*2p-1
1 2 1 1
2 3 1 2
3 5 2 3
4 7 3 4
5 13 4 8
6 17 6 10
7 19 6 12
8 31 10 19
9 61 19 37
10 89 27 54
11 107 33 65
12 127 39 77
13 521 157 314
14 607 183 366
15 1279 386 770
16 2203 664 1327
17 2281 687 1373
18 3217 969 1937
19 4253 1281 2561
20 4423 1332 2663
21 9689 2917 5834
22 9941 2993 5985
23 11213 3376 6751
24 19937 6002 12003
25 21701 6533 13066
26 23209 6987 13973
27 44497 13395 26790
28 86243 25962 51924
29 110503 33265 66530
30 132049 39751 79502
31 216091 65050 130100
32 756839 227832 455663
33 859433 258716 517430
34 1257787 378632 757263
35 1398269 420921 841842


Befreundete Zahlen

Neben den oben genannten vier vollkommenen Zahlen kannte man in der Antike nur ein weiteres Paar befreundeter Zahlen, nämlich 220 und 284.

220=1+2+4+71+142, 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110

Die Entdeckung dieses Paares wird Pythagoras zugeschrieben.

Sicher ist, daß der arabische Mathematiker Thabit ibn Qurrah (836 - 901) den folgenden Satz über befreundete Zahlen bewiesen hat:

Sind drei Zahlen p=3*2n-1-1, q=3*2n-1 und r=9*22n-1-1 Primzahlen, so sind die beiden Zahlen a=2n*p*q und b=2n*r befreundet.

Leider liefert dieser Satz für n < 20 000 nur in den Fällen n = 2, n = 4 und n = 7 die erforderlichen drei Primzahlen.

Leonhard Euler stellte eine Liste von 64 befreundeten Zahlenpaaren auf, von denen zwei falsch waren. 1830 fand Adrien Marie Legendre ein weiteres Paar. 1972 waren 1096 Paare befreundeter Zahlen bekannt, vgl. J. Lee, Joseph Madachy, The History and Discovery of Amicable Numbers, Journal of Recreational Mathematics 5 (1972), S. 2-4.

Heute kennt man bereits über 363 000 Paare befreundeter Zahlen, jedoch ist es offen, ob es unendlich viele derartige Paare gibt.

Mehr zu diesem Thema findet man in dem Aufsatz "Lebendige Zahlen" von Walter Borho, der im Band 1 der Reihe "Mathematische Miniaturen" beim Birkhäuser-Verlag 1981 erschienen ist.

Hier ist die Liste aller befreundeter Zahlen unterhalb von 10 000 000:

Nr. erste Zahl zweite Zahl Jahr Entdecker
1 220 284 - Pythagoras(?)/Thabit
2 1184 1210 1860 Paganini
3 2620 2924 1747 Euler
4 5020 5564 1747 Euler
5 6232 6368 1747 Euler
6 10744 10856 1747 Euler
7 12285 14595 1939 Brown
8 17296 18416 um 1300/um 1300/1636 Ibn-al-Banna/Farisi/Pierre de Fermat
9 63020 76084 1747 Euler
10 66928 66992 1747 Euler
11 67095 71145 1747 Euler
12 69615 87633 1747 Euler
13 79750 88730 1964 Rolf
14 100485 124155 1747 Euler
15 122265 139815 1747 Euler
16 122368 123152 1941/42 Poulet
17 141664 153176 1747 Euler
18 142310 168730 1747 Euler
19 171856 176336 1747 Euler
20 176272 180848 1747 Euler
21 185368 203432 1966 Alanen/Ore/Stempel
22 196724 202444 1747 Euler
23 280540 365084 1966 Alanen/Ore/Stempel
24 308620 389924 1747 Euler
25 319550 430402 1966 Alanen/Ore/Stempel
26 356408 399592 1921 Mason
27 437456 455344 1747 Euler
28 469028 486178 1966 Alanen/Ore/Stempel
29 503056 514736 1747 Euler
30 522405 525915 1747 Euler
31 600392 669688 1921 Mason
32 609928 686072 1747 Euler
33 624184 691256 1921 Mason
34 635624 712216 1921 Mason
35 643336 652664 1747 Euler
36 667964 783556 1966 Alanen/Ore/Stempel
37 726104 796696 1921 Mason
38 802725 863835 1966 Alanen/Ore/Stempel
39 879712 901424 1966 Alanen/Ore/Stempel
40 898216 980984 1747 Euler
41 947835 1125765 1946 Escott
42 998104 1043096 1966 Alanen/Ore/Stempel
43 1077890 1099390 1966 Lee
44 1154450 1189150 1957 Garcia
45 1156870 1292570 1946 Escott
46 1175265 1438983 1747 Euler
47 1185376 1286744 1929 Gerardin
48 1280565 1340235 1747 Euler
49 1328470 1483850 1966 Lee
50 1358595 1486845 1747 Euler
51 1392368 1464592 1747 Euler
52 1466150 1747930 1966 Lee
53 1468324 1749212 1967 Bratley/McKay
54 1511930 1598470 1946 Escott
55 1669910 2062570 1966 Lee
56 1798875 1870245 1967 Bratley/McKay
57 2082464 2090656 1747 Euler
58 2236570 2429030 1966 Lee
59 2652728 2941672 1921 Mason
60 2723792 2874064 1929 Poulet
61 2728726 3077354 1966 Lee
62 2739704 2928136 1747 Euler
63 2802416 2947216 1747 Euler
64 2803580 3716164 1967 Bratley/McKay
65 3276856 3721544 1747 Euler
66 3606850 3892670 1967 Bratley/McKay
67 3786904 4300136 1747 Euler
68 3805264 4006736 1929 Poulet
69 4238984 4314616 1967 Bratley/McKay
70 4246130 4488910 1747 Euler
71 4259750 4445050 1966 Lee
72 4482765 5120595 1957 Garcia
73 4532710 6135962 1957 Garcia
74 4604776 5162744 1966 Lee
75 5123090 5504110 1966 Lee
76 5147032 5843048 1747 Euler
77 5232010 5799542 1967 Bratley/McKay
78 5357625 5684679 1966 Lee
79 5385310 5812130 1967 Bratley/McKay
80 5459176 5495264 1967 Lee
81 5726072 6369928 1921 Mason
82 5730615 6088905 1966 Lee
83 5864660 7489324 1967 Bratley/McKay
84 6329416 6371384 1966 Lee
85 6377175 6680025 1966 Lee
86 6955216 7418864 1946 Escott
87 6993610 7158710 1957 Garcia
88 7275532 7471508 1967 Bratley/McKay
89 7288930 8221598 1966 Lee
90 7489112 7674088 1966 Lee
91 7577350 8493050 1966 Lee
92 7677248 7684672 1884 Seelhoff
93 7800544 7916696 1929 Gerardin
94 7850512 8052488 1966 Lee
95 8262136 8369864 1966 Lee
96 8619765 9627915 1957 Garcia
97 8666860 10638356 1966 Lee
98 8754130 10893230 1946 Escott
99 8826070 10043690 1967 Bratley/McKay
100 9071685 9498555 1946 Escott
101 9199496 9592504 1929 Gerardin/Poulet
102 9206925 10791795 1967 Bratley/McKay
103 9339704 9892936 1966 Lee
104 9363584 9437056 um 1600/1638 Yazdi/Rene Descartes
105 9478910 11049730 1967 Bratley/McKay
106 9491625 10950615 1967 Bratley/McKay
107 9660950 10025290 1966 Lee
108 9773505 11791935 1967 Bratley/McKay

Gesellige Zahlen

Eine Kette a1,...,an natürlicher Zahlen heißt eine Kette geselliger Zahlen (englisch "sociable numbers"), wenn jede Zahl ai der Kette gleich der Summe der von ai+1 verschiedenen Teiler von ai+1 ist und a1 die Summe der von an verschiedenen Teiler von an.

1918 veröffentlichte P. Poulet eine Kette geselliger Zahlen der Ordnung 5:

12496, 14288, 15472, 14536, 14264

und eine Kette der Ordnung 28:

14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

1969 entdeckte Henri Cohen sieben Ketten der Ordnung 4 und später fand Steve Root sechs weitere dieser Ketten.

Insgesamt kennt man heute 53 Ketten geselliger Zahlen:

46 der Länge 4,
1 der Länge 5,
2 der Länge 6,
2 der Länge 8,
1 der Länge 9,
1 der Länge 28.

Neben den beiden oben angegebenen sind dies:

1264460, 1547860, 1727636, 1305184

2115324, 3317740, 3649556, 2797612

2784580, 3265940, 3707572, 3370604

4938136, 5753864, 5504056, 5423384

7169104, 7538660, 8292568, 7520432

18048976, 20100368, 18914992, 19252208

18656380, 20522060, 28630036, 24289964

28158165, 29902635, 30853845, 29971755

46722700, 56833172, 53718220, 59090084

81128632, 91314968, 96389032, 91401368

174277820, 205718020, 262372988, 210967684

209524210, 246667790, 231439570, 230143790

330003580, 363003980, 399304420, 440004764

498215416, 506040584, 583014136, 510137384

805984760, 1268997640, 1803863720, 2308845400, 3059220620, 3367978564, 2525983930, 2301481286, 1611969514

1095447416, 1259477224, 1156962296, 1330251784, 1221976136, 1127671864, 1245926216, 1213138984

1236402232, 1369801928, 1603118392, 1412336648

1276254780, 2299401444, 3071310364, 2303482780, 2629903076, 2209210588, 2223459332, 1697298124

1799281330, 2267877710, 2397470866, 1954241390

2387776550, 2497625050, 2550266150, 2506553050

2879697304, 3320611496, 3364648984, 3147575336

3705771825, 3890616975, 4298858865, 4659093135

4424606020, 5186286908, 4720282996, 4993345292

4823923384, 5708253896, 5513075704, 5196238856

5373457070, 5406735730, 5575049870, 5983131730

8653956136, 9890235704, 9468980296, 9237894104

15837081520, 23967995792, 26042149708, 21105018164

17616303220, 20012014220, 25854330388, 22095024044

21548919483, 23625285957, 24825443643, 26762383557, 25958284443, 23816997477

21669628904, 28986647896, 25367088104, 24111275896

44379752648, 59472079672, 57414289928, 50520737272

73636082872, 85180941128, 80241838072, 84123459128

88585861815, 90937094985, 90251247735, 90965321865

90568599176, 101073426424, 99587052776, 100773510424

90632826380, 101889891700, 127527369100, 159713440756, 129092518924, 106246338676

91411869465, 96182575335, 117001337625, 113863886055

111375706442, 117225146038, 122866422602, 117060156598

1092162882824, 1177885756216, 1264819120424, 1178275499416

1755676229313195, 1788418506686805, 1821198145117995, 1788428908642005

1820741168916950, 2051026009623850, 2310219512619350, 2050935748436650

82961403658006995, 86758289973481005, 90724767415395795, 86758402128284205

114588454336625295, 115087954524328305, 115583776699336335, 115087979545630065

58463193565500538425, 59292703244444600775, 60128225535659040825, 59292719304591685575

1216327163895122388615, 1218604371594338372985, 1216951164542388643335, 1218605379672928463865

1760276329085877273472, 1774002267407400326528, 1787833449028343673472, 1774001844321396326528

127735111770308496156105, 127870741499225281763895, 128006484638238134248905, 127870742226200145943095

455449879323655623656384, 460256233251615186934336, 465109226480399267470784, 460256233273935581206336

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