Archimedische Spirale

Die einfachsten aller Spiralen haben Gleichungen der Form r=a*phi mit von Null verschiedener reellen Konstante a. Sie werden nach ihrem Entdecker Archimedes als archimedische Spirale bezeichnet. Diese Spiralen zeichnen sich durch einen konstanten Windungsabstand über den gesamten Definitionsbereich aus. Sie sind aus 2 Ästen zusammengesetzt, von denen der zweite (für negative Polarwinkel) die Spiegelung des ersten an der Orthogenale der Polarachse ist.


Gleichung: r = a * phi ; (a ungleich 0)
Definitionsbereich: IR
Tangentenwinkel y = arctan phi
Flächenelement: dA = ( a² / 2 ) * phi² d fi
Bogenelement: ds = sqrt ( 1 + (r/a)² ) dr
Krümmungsradius: p = ((r² + a²) ^ 3/2) / (r² + 2a²)



Anwendungsbeispiele für archimedische Spiralen:






Spiralen ("Schneckenlinien") bei
Albrecht Dürer


Überblick

In seiner aus vier Büchern bestehenden "Underweysung der messung mit dem zirckel un richtscheyt..." gibt Albrecht Dürer im ersten Büchlein u. a. drei verschiedene Konstruktionen für (von ihm so genannte) Schneckenlinien an. Dabei handelt es sich nach heutiger Bezeichnungsweise um Spiralen. Unter diesen kommt auch eine Archimedische Spirale vor. Weiterhin beschreibt er auch die Konstruktion einer räumlichen Schraubenlinie

Zweite Konstruktion

Dürer beschreibt die zweite Konstruktion wie folgt:

Nun will ich ein andre schnecken lini/ und einer andern weiß zihen/ die in vil dingen zu brauchen und fast nützlich ist/ wirdet auch vil darauß erlernt/ sie ist auch an der vorigen lini stat zu brauchen/ iren anfang nym ich auß dem mittel punckten/ von dan geet ir leng in die weyten/ so fern man will/ doch bleybt ir felt/ zwischen der uberlegung der linie alweg gleich weit darzwischen/ allein im ersten umlauff nit/ aber dise schneckenlini/ mach ich also ich setz ein punckten .a und reiß ein zirkelris darum so weit ich die schnecken lini will lauffen lassen/ Und teyl dise runde lini mit 12. punckten in .12. gleiche felt/ darnach reiß ich aus dem Centro .a. ein gerade lini ubersich byß an den runden ryß der ende sei .b. in denselben punckten setz ich .12. unnd heb die teylung der punckten des runden ryß an zu zelen gegen der lincken hand /1/2/3/etc byß herum auff die 12. Aber die gerad lini .a.b. teyl ich mit .23. punckten in .24. gleiche felt und heb am .a. an zu zellen /1/2/3/etc Darnach nym ich ein gerad richtscheyt und stich die punckten der itzt gemelten lini .a.b. darauf und bezeychens mit iren zyffern/ und leg das bey der myndern zal mit dem ein ort .a. auff den Centrum .a. und/ mit dem ort .b. auff den zirckelryß auff den punckten .i. unnd wo dann das richtscheyt mit seim punckten .i. hyn zeyge da setz ich auch ein punckten .i. Also far ich zu ring herumb zu allen zalen im zirckelryß und laß allweg das richtscheyt im Centro .a. stet bleiben/ so werden die punckten des richtscheyt alle punckte der schneckenlini antzeygen durch die tzal wo man sie hyn setzen soll/ Darumb merck eben auff die zal so kanst du nit irre werden/ Aber so die lini zwyfach uber einander laufft/ und im zirckelriß nun /12/ stett/ aber im umlauffeten richtscheyt .23. so hab acht das die zal des richtscheytz ordentlich farge/ dann zu der zal .i. kumbt .13. auff /2/14/3/15/4/16/5/17/6/18/7/19/8/20/9/21/10/22/11/23/ man mag auch dise lini vilfeltig ubereinander zihen/ wer seyn bedarff/ der mehr die zal im richtscheyt mit den punckten/ und laß die punckten im zirckelryß ungeendert/ dise schnecken lini ist hiebey also auff geryssen mit allen zyffern

Dürer beginnt also mit einem großen Kreis um ein Zentrum a. Diesen Kreis teilt er in 12 gleiche Teile (was mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar ist). Den Radius von a zum "obersten" Teilungspunkt, den er b und gleichzeitig 12 nennt, zeichnet er ein. Die weiteren Teilungspunkte des Kreises numeriert er entgegen dem Uhrzeigersinn von 1 bis 11. Den Radius von a nach b teilt er in 24 gleiche Teile und benennt die Teilungspunkte von a ausgehend mit den Zahlen von 1 bis 23. Diese Teilung überträgt er nun auf ein Lineal und trägt nun jeweils von a aus in Richtung der Teilpunkte 1 bis 12 des Kreises Strahlen der Längen 1 bis 12 (auf dem Lineal) ab. Anschließend trägt er in der gleichen Weise wiederum in Richtung der Teilpunkte 1 bis 12 Strahlen der Längen 13 bis 23 ab. Die Endpunkte der Strahlen numeriert er von 1 bis 23. Zusammen mit a und b bilden sie die Punkte der konstruierten "Schneckenlinie". Diese Konstruktion ist in der unten stehenden Zeichnung zu sehen. Dürer weist noch darauf hin, daß man diese Spirale nach außen beliebig verlängern kann, indem man weitere Teilstücke der Strecke ab auf dem Lineal einzeichnet und weitere Strahlen in Richtung der Teilpunkte des Kreises abträgt.

Da die Länge der abgetragenen Halbstrahlen proportional ist zum Winkel, den der Halbstrahl mit der Strecke ab bildet, genügt die Kurve der Gleichung r = c*t , d. h. es handelt sich um eine Archimedische Spirale. Wählt man den Radius des Ausgangskreises, also die Länge der Strecke ab als 1, so wird r = 1 für t = 4*pi (nach zwei vollen Umläufen). Daher ist c = 1/(4*pi).





Archimedische Spiralen bei der Datenspeicherung
CD-Rom-Laufwerk

Die archimedische Spirale kommt derzeit in und auf jedem handelsüblichen Informationsträger zur Anwendung. Beispielsweise werden auf einer CD die Daten in Form von Punkten und Strichen (gleichbedeutend für 0 und 1, den kleinstmöglichen digitalen Dateneinheiten) beginnen bei der innersten Spur der CD spiralartig nach außen geschrieben. Bei Schallplatten und Vinyls geschieht dies nach dem selben Prinzip, nur daß hier die Spiralen in umgekehrter Richtung von außen nach innen verlaufen.

Bei Audio- und Videokassetten wird die Information auf einem Magnetband gespeichert, welches anschließend einfach auf einer Spule aufgewickelt wird. Dabei nimmt das Band wiederum die Form einer archimedischen Spirale an. Durch dieses Prinzip lassen sich riesige Bandmengen (bzw. bei CD und Schallplatte: Datenspuren ) auf kleinstmöglichen Raum unterbringen.




Quellen: Spiralen - Ein Kapitel phänomenaler Mathematik (Johanna Heitzer)