Internet-Projekt

zum Thema
Spiralen in Natur, Technik und Kunst

erstellt durch die Schüler Stephan Jaeckel und Sergej Amboni des Beruflichen Gymnasiums für Technik "Julius Weisbach"

15. Januar 2001

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In diesem Projekt werden verschiedene Arten von ebenen und räumlichen Kurven untersucht, die sich alle unter dem Oberbegriff Spiralen zusammenfassen lassen. Neben der mathematischen Analyse der jeweiligen Kurve werden auch immer Beispiele für ihr Auftreten in der Natur, bei technischen Problemen oder in künstlerischen Arbeiten angegeben.

Inhaltsverzeichnis:



Aber was sind Spiralen überhaupt und wie kann man sie definieren?

Bereits Archimedes verfaßte eine Abhandlung "Über Spiralen", in der er die folgende Definition gab: Wenn sich ein Halbstrahl in einer Ebene um seinen Endpunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit dreht, nach einer beliebigen Zahl von Drehungen wieder in die Anfangslage zurückkehrt und sich auf dem Halbstrahl ein Punkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit, vom Endpunkt des Halbstrahls beginnend, bewegt, so beschreibt dieser Punkt eine Spirale.

Betrachtet man nur die erste volle Umdrehung des Halbstrahls, so kann man, wegen der gleichförmigen Bewegung des Halbstrahls, den Winkel zwischen der Lage des Halbstrahls zur Zeit t und der Lage des Halbstrahls zur Zeit t=0 direkt zur Messung der Zeit t benutzen. Damit ist andererseits, wegen der gleichförmigen Bewegung des Punktes P auf dem Halbstrahl, der Abstand r des Punktes P vom Endpunkt O des Halbstrahls proportional zur Zeit t. In moderner Bezeichnungsweise ergibt sich damit die Kurve, die der Punkt in einem Polarkoordinatensystem beschreibt, zu

r = c*t

mit einer positiven Konstanten c . Dies ist die allgemeine Gleichung der Archimedischen Spirale in Polarkoordinaten.

In Verallgemeinerung dieser Formel soll hier unter einer ebenen Spirale eine Kurve in einem Polarkoordinatensystem verstanden werden, für die der Radius r eine stetige, monotone (wachsende oder fallende) und nicht konstante Funktion von r ist, wobei der Winkel t ein bestimmtes reelles Intervall oder auch alle reellen Zahlen durchläuft, also

r = f(t)

mit einer stetigen, monotonen und nicht konstanten Funktion f: I -> R .


Geht das auch einfacher?

Nun, einfach gesprochen ist eine Spirale eine ebene Kurve, die aus unendlich vielen Windungen um einen festen Punkt besteht und aus höchstens zwei Ästen zusammengesetzt ist, bei denen der Abstand vom Mittelpunkt streng monoton vom Drehwinkel abhängt. Beispiele für Spiralen gibt folgende Skizze:
Falsch ist jedoch:


Und wozu braucht man Spiralen?

Nun für Spiralen gibt es zahlreiche Beispiele und Anwendungen in der Natur, der Technik und in der Kunst. Einige Anwendungsbeispiele und Vorkommen von Spiralen sollen auf den folgenden Seiten einmal kurz beschrieben und erklärt werden:
Darstellung von Spiralen

Eine sehr effiziente Methode, Kurven der mathematischen Untersuchung zugänglich zu machen besteht in der Einführung von Koordinaten. Bei den meisten Kurven besteht dabei zwischen den Punkten der Kurve über den Definitionsbereich ein einheitlicher Zusammenhang.

Darstellung durch Polarkoordinaten

Bei dem vorrangig bekannten kartesischen Koordinatensystem wird die Lage eines Punktes durch die Angabe der gerichteten Abstände von 2 Geraden (in der Regel X und Y) eindeutig beschrieben. Da Spiralen aber zahllose Windungen um einen festen Punkt durchlaufen werden, verhält sich der Abstand zu den Bezugsgeraden sehr unregelmäßig.

Für Spiralen ist daher die Darstellung in Polarkoordinaten wesentlich praktischer: "Als Bezugssystem dient hier ein fester Punkt, der Pol, und eine in diesem Punkt beginnende Halbgerade, die Polarachse. Die Lage eines Punktes wir durch den Abstand r des Punktes vom Pol und den Winkel 'phi' zwischen der Verbindungsstrecke des Punktes mit dem Pol und der Polarachse beschrieben. Man spricht von Radius und Polarwinkel des Punktes." (aus: "Spiralen" von Johanna Heitzer S.14)


Die verschiedenen Spiraltypen

Auf den folgenden Seiten soll einmal auf die unterschiedlichen Arten von Spiralen eingegangen werden. Es sind jeweils die wichtigsten Elemente einer mathematischen Diskussion (inklusive Abbildung) aufgelistet. In einzelnen Fällen folgen dann noch Informationen zum Vorkommen in Natur und Technik sowie weitere Anmerkungen.



Die Forscher auf dem Gebiet der Spiralen

Einer der ersten Forscher auf dem Gebiet der Spiralen war wohl Archimedes. In seiner Abhandlung "über Spiralen" beschrieb er erstmals die mathematischen Eigenschaften von Spiralen. Und seit der Antike gab und gibt es immer wieder Forscher und Künstler, die sich mit Spiralen beschäftigen. Einige dieser Entdecker und Mathematiker, ihr Leben und ihre Entdeckungen, sollen auf den folgenden Seiten einmal vorgestellt werden.