Harmonische Analysis und Wavelets
Die harmonische Analysis beschäftigt sich mit der Darstellung von Funktionen in vollständigen Systemen orthonormaler Funktionen. Im klassischen Fall geht es dabei um die Analyse von Schwingungen mittels Fourierreihen und der Fouriertransformation, daher auch der früher gebräuchliche Name harmonische Analyse. Diese grundlegenden Ideen lassen sich auf topologische Gruppen verallgermeinern und gestatten damit den Anwendungsbereich dieser Theorie entscheidend zu erweitern. Insbesondere für Wavelets ist dabei die Heisenberg-Gruppe von Bedeutung.
- Wavelets auf Mannigfaltigkeiten, insbeondere der mehrdimensionalen Kugeloberfläche und der Gruppe SO(n)
- Operatorhalbgruppen und assozierte Wavelets
- Eigenschaften und Anwendung monogener Signale
Inverse Probleme
In der Regel hat man eine Gleichung, z.B. Differentialgleichung, gegeben und möchte die Lösung dieser Gleichung finden. Ein derartiges Problem wird auch direktes Problem genannt. Man kann es auch so formulieren: ein technisch-naturwissenschaftlicher Vorgang wird durch die Gleichung beschrieben und man kann bestimmen was dieser Vorgang bewirkt. Beim inversen Problem ist dagegen die Wirkung gegeben, z.B. als Meßwerte, und gesucht ist eine Beschreibung des Vorgangs. Dies können Parameter in einer Differentialgleichung aber auch Kernfunktionen einer Integralgleichung sein. Typischerweise ist beim inversen Problem eine Integralgleichung zu lösen.
- Spärische Radontransformation und ihre Anwendungen
- Kristallographische Radontransformation zur Bestimmung der Orientierungsdichtefunktion Hierzu besteht eine enge Zusammenarbeit mit der Professur für Mathematische Geologie und Geoinformatik am Institut für Geologie der TU Bergakademie Freiberg.
- Streutheorie und Lax pairs
Clifford-Analysis und verallgemeinerte Funktionentheorie
In der Funktionentheorie werden Funktionen einer komplexen Veränderlichen untersucht. Als Verallgemeinerung kann man die Clifford-Analysis betrachten, sie befasst sich mit dem Dirac-Operator in Analysis und Geometrie, der das Analogon zum Cauchy-Riemann-Operator der klassischen Funktionentheorie darstellt. Eine andere Verallgemeinerung sind die Multikomplexen Zahlen.
- Clifford-Analysis
- Anwendungen der Clifford-Analysis in der Signal- und Bildverarbeitungverarbeitung, Gleichungen der mathematischen Physik
- Multikomplexe Zahlen und ihre Anwendungen