Die wissenschaftlichen Betätigungsfelder der Mitarbeiter unseres Institutes decken weite Bereiche der angewandten Analysis ab. Einige der Schwerpunkte und Hauptarbeitsgebiete sind nachfolgend vorgestellt.

Ein weiterer wichtiger Bestandteil der wissenschaftlichen Arbeit am Institut ist die Betreuung von letztere zum größten Teil im Rahmen des Studienganges Angewandte Mathematik.

Prof. Dr. Wolfgang Sprößig
Im Zentrum seiner Arbeit stehen Untersuchungen zur Quaternionen- und Cliffordanalysis. Zielstellung dabei ist die Entwicklung hyperkomplexer Operatorenkalküle und das Studium hyperkomplexer Integraltransformationen. Eine wichtige Rolle spielen dazu Reihenentwicklungen Clifford-regulärer Funktionen. Ebenso von Bedeutung sind geschichtliche Aspekte der Quaternionenanalysis.

Neben der Bereitstellung allgemeiner Resultate zur hyperkomplexen Analysis werden auch Anwendungen hyperkomplexer Methoden auf elliptische Randwertaufgaben diskutiert. Entsprechende Probleme entstehen zum Beispiel bei der Behandlung der Gleichungen der Strömungsmechanik, der Elastizitätstheorie oder der Theorie der elektromagnetischen Felder. Gegenstand der Forschung ist ebenso die Behandlung nichtlinearer Randwertaufgaben in beschränkten Gebieten des n-dimensionalen Raumes.

Abgerundet werden diese Themen durch die Untersuchung spezieller Lösungsverfahren für lineare und nichtlineare partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung und hyperkomplexe Kollokationsverfahren mit Clifford-regulären Singularitätenfunktionen.

Prof. Dr. Elias Wegert
Schwerpunkt der Forschung von Prof. Wegert sind nichtlineare Randwertaufgaben für analytische Funktionen. Stichworte dazu sind die Untersuchung der globalen Lösbarkeit von Kopplungsproblemen für holomorphe Funktionen, sowie der Nachweis sogenannter "Analytic discs" in der Nähe von Singularitäten. Weiter werden numerische Methoden zur Behandlung von Problemen der H-Optimierung, Wavelet-Methoden für Riemann-Hilbert-Probleme, sowie numerische Lösungen freier Randwertprobleme der Elektrochemie entwickelt.

Prof. Dr. Michael Reissig
Im Zentrum der Arbeit Prof. Reissig stehen partielle Differentialgleichungen verschiedener Typen. Das Spektrum reicht von abstrakter Cauchy-Kowalewskaja Theorie zur Behandlung von Evolutionsgleichungen mit singulären Koeffizienten, Sätzen vom Cauchy-Kowalewskaja-Typ und vom Holmgren-Typ in Skalen lokalkonvexer Räume und Sätzen vom Peano-Typ in Banachraumskalen über das Studium von Hele-Shaw-Strömungen mit und ohne Regularisierung für kompakte Quellen und Senken und die Behandlung lokaler Existenzaussagen für dieses Problem zu Verallgemeinerten analytischen Funktionen und ihren Darstellungen durch reproduzierende Kerne, sowie Eindeutigkeitsklassen für das Cauchy-Problem.

Weiterhin werden entartete elliptischen Differentialgleichungen und damit in Beziehung stehende Fragen der Hypoelliptizität und der lokalen Lösbarkeit untersucht. Ebenso ist die Behandlung entartet hyperbolischer Differentialgleichungen Forschungsgegenstand. Dabei stehen Fragen der globalen Regularität in geeigneten Raumskalen, der lokalen Existenz von Lösungen und der Existenz von Abhängigkeitskegeln im Mittelpunkt, ebenso die Stabilität globaler Lösungen, Anwendungen der Nash-Moser-Theorie und der Beweis von Lp-Lq Abschätzungen von Lösungen. Weitere behandelte Fragestellungen dazu sind die Ausbreitung von Singularitäten (in schwach hyperbolischen Modellen ebenso, wie in gekoppelt hyperbolisch-parabolischen Systemen wie zum Beispiel Thermoelasitzitätsmodellen) und der Einfluß von Oszillationen in den Koeffizienten der Gleichungen auf Decay-Eigenschaften der Lösungen.

Priv.-Doz. Dr. Swanhild Bernstein
Das Hauptforschungsgebiet von Frau Dr. Bernstein ist die harmonische Analysis und ihre Anwendungen. Wavelets, insbesondere solche auf Gruppen und Mannigfaltigkeiten, sowie angepaßte Funktionenräume sind neben der Clifford Analysis (höherdimensionale Funktionentheorie) zentrale Schwerpunkte Ihrer Forschung. Wavelets auf der 3D-Sphäre sowie der Gruppe SO(3) werden im Zusammenhang mit der sphärischen Radontransformation untersucht, die bei der Untersuchung kristalliner Strukturen in der Kristallographie, den Werkstoffwissenschaften, aber auch in der Biologie angewandt wird. Hierzu besteht eine enge Zusammenarbeit mit dem Institut für Mathematische Geologie und Geoinformatik der TU Bergakademie Freiberg.

Prof. Dr. Lothar von Wolfersdorf / Doz. Dr. Friedmar Unger
Hauptaspekt der Arbeit von Dr. Unger und Prof. von Wolfersdorf sind inverse Probleme. Im speziellen werden dabei Probleme für Memory-Kerne in Wärmeleitproblemen und für Modelle der Viskoelastizität betrachtet. Weiter besteht ein Bezug zu Cauchy-Problemen für analytische Funktionen.

Ein zweiter Schwerpunkt der Arbeit sind nichtlineare Integralgleichungen vom Volterra-Typ ebenso, wie singuläre Integralgleichungen.

Abgerundet werden die Arbeiten durch Anwendung auf mathematische Modellierungen thermischer Probleme in den Ingenieurwissenschaften und in der Industrie. Als Beispiele sind Warm- und Kaltwalzprozesse und Phasenübergänge bei Stahl zu nennen.