Institut für Stochastik

(Angebote Professur Angewandte Stochastik und Professur Mathematische Statistik)

	Professur Angewandte Stochastik
	Dr. Uwe Jansen Objekt für C++ zur Verteilungswahl und Erzeugung von Zufallszahlen: Häufig steht man bei der stochastischen Simulation von Modellen vor der Aufgabe, eine zutreffende Verteilung bestimmten Zufallsgrößen zuordnen zu müssen. Festgelegt sind meist bereits Mittelwert und oft auch die Streuung. Weitere qualitative Eigenschaften, wie z.B. Positivität der Zufallsgröße oder Gestaltsmerkmale der Dichte sind erwünscht. Deshalb benötigt der Schritt der Verteilungswahl Unterstützung in einer möglichst interaktiven Form, die die Einhaltung der Restriktionen überwacht und Parameter automatisch anpasst. Eine visuelle Überprüfung des Ergebnisses, z.B. durch den Graphen der Dichtefunktion der Verteilung, ist sinnvoll. Weiterhin soll die Transformationsmethode zur Generierung der Quasi-Zufallszahlen bereitgestellt werden. Das Resultat der Arbeit sollte in der Lehre für Demonstrationszwecke genutzt werden können. Dieses Thema könnte auch von zwei Kandidaten gemeinsam bearbeitet werden, wobei schwerpunktmäßig einer die Verteilungsauswahl und der andere die Transformation bearbeiten sollte. Konstruktion und Experimente mit einer Rest-Alias-Methode: Wenn man die Idee der sogenannten Alias-Methode mit anderen Ideen verküpft, insbesondere schwierigere Fälle in extra zu behandelnde Restfälle zu stecken, entsteht eine modifizierte, aber auch neuartige Methode. Diese ist so universell, wie die Aliasmethode selbst. Sie läßt sich effektiv objektorientierte und generisch programmieren. Die Zugriffszeit kann sich in Abhängigkeit von der Parameterwahl noch einmal verbessern. Diesen Nachweis an Beispielen zu führen, wäre eine sinnvolle Aufgabe. Nichtlineare Transformations- und Umordnungseffekte bei Zeitreihen Auswirkungen der unterschiedlichen Skalen der Modellelemente: (Die Aufteilung in zwei verschiedene, aber gemeinsam bearbeitete Themen wäre möglich und sinnvoll!) Über simulative und manipulative Zeitreihenuntersuchungen soll der Einfluss verschiedener Variationsstärken und Formen der deterministischen Modellbestandteile in Beziehung zur Stärke der Zufallsvariation untersucht werden. (A) Wie "lohnend" ist die Reihenfolgeumkehr - erst die Daten Klassifizieren, dann Transformieren - gegenüber dem Prinzip - (Zufalls-)Daten Transformieren und danach Klassifizieren? Bei nichtlinearen Transformationen haben die unterschiedlichen Klasseneinteilungen auch unterschiedliche, durch das Zufallsrauschen bewirkte Fehler. Sind tendenzielle Eigenschaften mit den Eigenschaften der Transformationsfunktion verbunden? Wie hilfreich sind "Bayessche Verrauschungen" (Kernfunktionsverschmierung des Datenwertes vor der Transformation)? Z.B. kann eine Gaußsche Kernfunktion die möglichen, nichtverrauschten Daten, aus denen der gemessene Datenwert resultieren könnte, gewichten. Diese werden alle transformiert und mit ihrem Gewicht in den Klassen für die transformierten Werte aufgesammelt. Bei vorgegebenen deterministischen Bestandteilen des Zeitreihenmodells kann das korrekte Ergebnis der Klassifizierungen bestimmt werden. Die Simulationen sollen die Einflüsse des Zufalls zeigen und untersuchen. (B) Welche unterschiedlichen Wirkungen haben Glättungen vor und nach der nichtlinearen Transformation? Die Stärke der Variation pro Zeiteinheit der deterministischen Modellbestandteile soll mittels Umordnungen verändert werden. Der zufällige Verzerrungsprozess soll aber zeitlich beibehalten werden, d.h., es soll mit gleichen Realisierungen des Zufalls gearbeitet werden. Die simulativen Untersuchungengen würden systematische Effekte erkennen lassen. Die Skalen zur Messung der Variationen und die Fensterbreiten der Glättungen müssen hierzu aufeinander abgestimmt gewählt werden.
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	Professur Mathematische Statistik
	Prof. Dr. Wolfgang Näther Deconfounding: Bei Kindern steigt in der Regel die Intelligenz mit dem Körpergewicht. Natürlich wissen wir, daß dies nur eine Scheinbeziehung ist, denn hier steckt das Alter als "Confounder" dahinter: Die Intelligenz der Kinder wächst mit den Alter und auch das Körpergewicht wächst in der Regel mit den Alter. In komplexeren Situationen ist es mitunter nicht so einfach, einen Confounder auszumachen. In der Arbeit sollen der Tatbestand des Confounding und Methoden zum Erkennen bzw. Ausschließen von Confoundern (auch an Beispielen) beschrieben werden.   Schätzmethoden für Parameter in Copulas: Copulas sind zweistellige Funktionen C(.,.), die den Abhängigkeitsmechanismus beschreiben, wie man von zwei Randverteillungen U und V zur gemeinsamen Verteilung F gelangt, d.h. es ist F=C(U,V). Im Falle der stochastischen Unabhängigkeit ist C natürlich die Produkt-Copula: F=UV. Extreme Copulas sind M(U,V)=min(U,V) und L(U,V)=max(U+V-1,0) in dem Sinne, dass für beliebige Copulas C gilt: L<C<M. Es gibt verschiedene parametrische Klassen von Copulas, die diesen ganzen (oder einen Teil-) Bereich durchlaufen. Die Arbeit soll sich mit Schätzmöglichkeiten solcher Parameter befassen. Dies ist wichtig, weil man dadurch etwas über den grad der Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen erfahren kann.

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