Institut für Stochastik

(Angebote Professur Angewandte Stochastik und Professur Mathematische Statistik)

	Professur Angewandte Stochastik
	Dr. Uwe Jansen Untersuchungen zur angepassten Wahl der Parameter der Ratio-of-Uniform-Methode für die Generation von Zufallszahlen: Die universal anwendbare Idee zur Transformation von auf [0,1]-gleichverteilten Zufallzahlen auf entsprechend gewünscht verteilten Zufallszahlen ist mit einer Wahl der Parameter der Methode verbunden, die entscheidend über die Effizienz entscheidet. Die Verfahren sind unter die Verwerfungsmethoden einzuordnen. Der Anteil der verworfenen Transformations versuche hängt komplex von der gewünschten Verteilung ab. Deshalb sind systematische Untersuchungen notwendig, die zumindest in heuristischen Vorschlägen und Strategien einer vernünftigen Parametersetzung münden sollen. Vergleich der numerischen Methoden zur Berechnung instationärer Zustandwahrscheinlichkeiten bei endlichen kontinuierlichen Markowschen Ketten: Nach der herkömmlichen Theorie wären entsprechende Kolmogorowsche Differentialgleichungsysteme für die Übergangsfunktionen einer homogenen kontinuierlichen Markowschen Kette zu lösen, in der die Übergangsintensitäten eingehen. Mit Hilfe der Startzustandsverteilung im Zeitpunkt Null kann dann die instationäre Verteilung zum Zeitpunkt t bestimmt werden. Zwei numerische Ansätze ermöglichen die Umgehung der Lösung dieser Differentialgleichungen über entsprechende Reihendarstellungen. Beide Methoden haben Vor- und Nachteile, so dass eine vergleichende Darstellung und daraus abgeleitete Empfehlungen interessant wären. Insbesondere sind Fehlerabschätzungsmöglichkeiten zu diskutieren. Statistische Methoden zur Schätzung der Weibull-Verteilung Die Weibullverteilung spielt für eine immer größer werde Anzahl von Problemen aus Naturwissenschaft und Technik eine Rolle zur Modellierung von Festigkeits- und Beanspruchungsproblemen. Als linksschiefe Verteilung einer positiven Zufallsgröße mit verschiedenen Erklärungsmodellen und Deutungen scheint es immer notwendiger zu werden, die entsprechenden Methoden zur Parameterschätzung numerisch vorrätig zu haben. Auf den ersten Blick scheint dies keine schwierige Aufgabe zu sein. Jedoch sind der Skalen- und Shape-Parameter so verbunden, dass im betrachteten Messbereich kleine Änderungen des einen durch Änderungen des anderen beinahe ausgeglichen werden können. Deshalb sind verschiedene Schätzmethoden anzubieten, konkurrierende Verfahren einzusetzen und auch die Problematik zensierter Daten zu beachten. Effekte nichtlinearer Transformationen fehlerbehafteten Daten auf Klassifikationsergebnisse: Über simulative und manipulative Zeitreihenuntersuchungen soll der Einfluss verschiedener Variationsstärken und Formen der deterministischen Modellbestandteile in Beziehung zur Stärke der Zufallsvariation untersucht werden. Wie "lohnend" ist die Reihenfolgeumkehr - erst die Daten Klassifizieren, dann Transformieren - gegenüber dem Prinzip - (Zufalls-)Daten Transformieren und danach Klassifizieren? Bei nichtlinearen Transformationen haben die unterschiedlichen Klasseneinteilungen auch unterschiedliche, durch das Zufallsrauschen bewirkte Fehler. Sind tendenzielle Eigenschaften mit den Eigenschaften der Transformationsfunktion verbunden? Wie hilfreich sind "Bayessche Verrauschungen" (Kernfunktionsverschmierung des Datenwertes vor der Transformation)? Z.B. kann eine Gaußsche Kernfunktion die möglichen, nichtverrauschten Daten, aus denen der gemessene Datenwert resultieren könnte, gewichten. Diese werden alle transformiert und mit ihrem Gewicht in den Klassen für die transformierten Werte gesammelt. Bei vorgegebenen deterministischen Datenfolgen ist das korrekte Ergebnis der Klassifizierungen natürlich bekannt. Die Simulationen sollen die Einflüsse des Zufalls zeigen und untersuchen. Approximation von Verteilungen durch PH-Verteilungen Rekonstruktions- und Genauigkeitsuntersuchungen: Im Sinne der schwachen Konvergenz lassen sich alle stetigen Verteilungen von nichtnegativen Zufallsgrößen durch PH-Verteilungen approximieren. Wenn man den negativen Anteil der Zufallsgröße analog behandelt, so ist diese Aussage auf alle stetigen Verteilungen sofort übertragbar. Die PH-Verteilungen kann man als Verteilung der Ersterreichungszeiten eines absorbierenden Zustandes in einer zeitstetigen, endlichen, homogenen Markowschen Kette interpretieren. Somit wird die Verteilung durch einen Anfangsverteilungsvektor und einer Übergangsintensitätsmatrix bestimmt. Nur ist diese Charakterisierung nicht eindeutig. Für die Approximation können an der Zustandsanzahl und der Struktur der beiden Bestimmungsstücke Änderungen vorgenommen werden. Eine erste Aufgabe würde in der numerischen Rekonstruktion einer Struktur mit möglichst wenigen Zuständen bei geforderter Genauigkeit bestehen. Eine zweite Aufgabe ist die Untersuchung passender numerischer Genauigkeitskriterien der Approximation. Schicksalsmodellierungen für unempfindliche Bedienungssysteme mit zyklischer Abhängigkeitsstruktur: Periodisch wiederkehrende Zustände sind von Markowschen Ketten bekannt. Ordnet man gedanklich den jeweils zyklisch durchlaufene Zustandsmengen entsprechend zyklisch durchlaufende Markenmengen für Markierte Punktprozesse auf der reellen Achse zu, so lassen sich Umkehrformeln zwischen zeitstationaren und Palmschen Verteilungen der Punktprozesse modifizieren bzw. Überführungsformeln der Palmschen Verteilungen zu verschiedenen Zyklenphasen aufstellen. Ziel der Arbeit soll es sein, diese Zyklen als Schicksale zu interpretieren und mit mit entsprechenden zyklischen Abläufen in Bedienungssystemen zu verbinden. Falls die Bedienungssystem die sogenannte Unempfindlichkeitseigenschaft bezüglich der Verteilung der Aufenthaltsdauern in diesen Bedienungszyklenphasen besitzen, so sind hierdurch auf elegante Weise Formeln für abhängige Zufallsmechanismen aufstellbar. Beispiele für die Anwendung und Interpretation sollen demonstriert und hierfür erst zum Teil noch mit Fantasie gefunden werden.
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	Professur Mathematische Statistik
	Prof. Dr. Wolfgang Näther Modellierung von Wechselwirkungen durch Fuzzy-Maße In klassischen statistischen linearen Modellen, z.B. in Y=a1x1+a2x2+a12x1x2+e wird die Wechselwirkung zwischen x1 und x2 durch den Term a12x1x2 modelliert (a12>0: Verstärkung  a12<0: Verdrängungseffekt). Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Interaktivität von Merkmalen durch nichtadditive Bewertungsmaße v zu modellieren, d.h. für A, B disjunkt  gilt im Verstärkungsfall v(A u B) > v(A)+v(B) und im Verdrängungsfall v(A u B) <v(A) +v(B). in der Diplomarbeit sollen (auch an konkreten Beispielen) die Unterschiede, die Stärken und Schwächen der beiden Ansätze diskutiert werden. T - Normen in Stochastik und Fuzzytheorie T-Normen (sog. Triangular-Normen) sind spezielle Copulas, und Copulas beschreiben, durch welchen funktionalen Zusammenhang sich eine zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung aus eindimensionalen ("Rand"-)Verteilungen zusammensetzt. Copulas beschreiben also die Abhängigkeitsstruktur von Randverteilungen im Hinblick auf die gemeinsame Verteilung. T-Normen sind auch geeignet, die Interaktivität zwischen Fuzzymengen (bzw. zwischen Possibilitätsverteilungen) zu beschreiben. In der Diplomarbeit sollen Analogien und Unterschiede diskutiert werden. Das Thema kann (und sollte) verschieden konkretisiert werden, z.B. in Richtung Fehlerfortpflanzung oder in Richtung Fuzzy Maße. Parametertests mit unscharfen Daten Die Stichprobe bestehe aus n LR-Fuzzy-Zahlen. Informationen über den unbekannten Verteilungsparameter seien sowohl in den Zentral- als auch in den Spreizungswerten der Fuzzyzahlen enthalten. Beispiele belegen, dass im Vergleich zu einem klassischen statistischen Test, der nur die (defuzzifizierten) Zentralwerte benutzt ein Test, der Zentral- und Spreizungswerte benutzt, eine höhere Güte hat. In der Diplomarbeit sollen Bedingungen an Parameter und Verteilungen formuliert werden, unter denen diese Verbesserung allgemein gilt.

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