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 Lehrstuhl
Angewandte Stochastik
(Ansprechpartner:
Dr. U. Jansen)
- PH-Verteilungen zur Approximation von stetigen
Verteilungen
Die Ersterreichungszeit eines absorbierenden
Zustandes in einer zeitstetigen homogenen Markowschen Kette stellt eine
nichtnegative Zufallsgröße dar, deren Verteilung
sich als Mischung von Erlang-Verteilungen darstellen lässt.
Einen Zustand der Markowschen Kette kann man als Phase bezeichnen,
woraus der
Name dieser Verteilungsklasse abgeleitet wird. Bedeutung erhalten diese
Verteilungen durch den Fakt, dass sie im Sinne der schwachen Konvergenz
die stetigen Verteilungen approximieren. Außerdem besitzen
sie weitere numerisch nutzbare Eigenschaften.
- Simulation von Geburts- und Todesprozessen
Die Geburts- und Todesprozesse sind eine
Teilklasse der zeitstetigen homogenen Markowschen Ketten, für
die sehr viele Ergebnisse existieren. Außerdem lassen sie
sich relativ einfach simulieren, d.h. Realisierungen dieser
stochastischen Prozesse zu generieren ist kein schwieriges Problem.
Wichtige Bedienungssysteme lassen sich mit Hilfe dieser Prozesse
beschreiben; z.B. Mehrbedienersysteme mit unbeschränktem
Warteraum. (Das Thema ist zur Zeit vergeben.)
- Die Brownsche Bewegung - Mathematische
Definition und Eigenschaften
- Markov-Chain-Monte-Carlo als numerische Methode
Markov-Chain-Monte-Carlo-Simulationen sind
ein modernes Hilfsmittel zur Untersuchung mathematischer Modelle,
insbesondere für solche Modelle, die so komplex sind, dass
eine analytische Darstellung wichtiger Größen nicht
mehr möglich ist. In dem Seminarvortrag sollen
Hintergründe und Algorithmen vorgestellt und am Beispiel
veranschaulicht werden
Lehrstuhl Mathematische
Statistik
(Ansprechpartner: Prof. Dr. Näther)
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Ein Grenzwertsatz für
zentrale Ordnungsstatistiken:
Nicht nur das Stichprobenmittel, auch der Stichprobenmedian
ist, wie andere empirische p-Quantile auch, asymptotisch normalverteilt. Im
Seminar soll dazu ein klassischer Grenzwertsatz samt Beweisidee vorgestellt
werden.
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Simpson-Paradox,
Confounding, partielle Korrelation:
Betrachten wir zwei Elfmeterschützen A und B. A hat bei
Heimspielen 60% und bei Auswärtsspielen 80% seiner Elfmeter verwandelt. Bei B
steht die Quote zu Hause bei 50% und auswärts bei 70%. Trotzdem ist B der
bessere Schütze, denn insgesamt hat er 66,6% aller Elfmeter verwandelt,
verglichen mit den 65% Gesamttreffern von A (ein Zahlenbeispiel dazu überlege
man sich selbst). Das ist ein Beispiel für das Simpson-Paradoxon, wo auf den
ersten Blick unterstellte Rangordnungen in Wahrheit plötzlich umgekehrt sind.
Das lässt sich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten leicht nachweisen. Weitere
Zusammenhänge gibt es zum Confounding und zur partiellen Korrelation, was im
Seminarvortrag herausgearbeitet werden soll.
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Benfords Gesetz :
Betrachten Sie irgendeine umfangreiche amtliche Statistik,
z.B. die Einwohnerzahlen aller deutschen Städte, und bestimmen Sie die
relativen Häufigkeiten der Anfangsziffern 1 bis 9 in dieser Zahlenreihe. Sie
werden feststellen, dass diese nicht etwa gleichverteilt sind, sondern dass die
1 am häufigsten vorkommt (ca. 30%), die 2 bringt es auf ca. 17% und die schafft es bloß noch auf knapp 5%.
Die Häufigkeiten folgen offensichtlich einem logarithmischen Gesetz, dem sog.
Benford-Gesetz. Im Seminar sollen dafür Begründungen geliefert werden
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Kontrolliertes Runden:
Betrachten wir eine Grundgesamtheit, die zweifach
geschichtet ist, z.B. die Bevölkerung eines Landes, geschichtet nach Alters-
und Einkommensgruppen. Vielleicht ergibt sich, dass nur 0,3% der Bevölkerung in
der Altersgruppe 10-20 Jahre und gleichzeitig in der Einkommensgruppe „mehr als
100000 Euro Jahreseinkommen“ sind. Wählt man nun bei Umfragen proportional
geschichtete Stichproben, dann wären bei Stichprobenumfang n=100 genau 0,3
Personen aus obiger Schichtkonstellation zu befragen. Auch bei anderen
Schichtkonstellationen sind gebrochene Anzahlen zu erwarten. Hier einfach
numerisch zu runden, d.h. die 0,3 auf 0 abzurunden, hätte den Nachteil, dass
Personen aus dieser Schichtkonstellation nie eine Chance hätten, in die
Stichprobe zu gelangen.
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Komplex Stochastische
Finanzmathematik:
Hier können drei Seminarvorträge gehalten werden:
- Ein
zeitstetiges Finanzmarktmodell
- Optionsbewertung
- Portfolio-Optimierung
Grundlage ist das Buch Korn/Korn: Optionsbewertung und
Portfolio-Optimierung, Viehweg-Verlag 2001.
Die Vorträge nutzen also die gleiche Terminologie und werde
sich (teilweise) aufeinander beziehen müssen. Daher werden diese Themen nur
vergeben, wenn gleichzeitig drei Studenten Interesse haben.
Organisatorisch wird es dann so sein, dass alle drei
Vorträge in einer etwa zweistündigen Veranstaltung präsentiert werden.
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U-Statistiken:
(Betreuer: Dr. Wünsche)
Eine große Klasse von
Statistiken lässt sich in der Form einer sog. U-Statistik schreiben. Als
Beispiele seien das arithmetische Mittel, die empirische Varianz, der
Kendallsche Korrelationskoeffizient, die empirische Verteilungsfunktion, die
Rangsummen bzw. Vorzeichen-Rang-Summen nach Mann-Whitney bzw. Wilcoxon genannt.
Neben anderen wichtigen Eigenschaften soll die asymptotische Normalität der
U-Statistiken im Mittelpunkt stehen.
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