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2.   Der Begriff des Zufalls

Der Begriff des Zufalls ist nicht einfach zu erklären. Viele im Berufsleben erfolgreiche Stochastiker machen sich darüber weiter keine Gedanken und haben es dank ihrer Berufserfahrung einfach im Gefühl, wann die Anwendung stochastischer Methoden sinnvoll ist. Es gibt viele Situationen, wo die an sich sehr verschiedenen Begriffe Zufall und Unwissenheit, Ungewißheit oder Unschärfe (Fuzzyness) parallel verwendet werden. Eine schöne vergleichende Darstellung dieser Konzepte findet man in Bandemer (1997).

Der Lehrer könnte versuchen, ein Unterrichtsgespräch über den Begriff ,,Zufall`` zu führen, vielleicht einmal in einer unteren Klasse und dann später noch einmal in der Abiturklasse. Er könnte von der umgangssprachlichen Verwendung des Begriffes ,,Zufall`` ausgehen. Typische Beispiele sind:

,,Es ist Zufall, daß ich heute morgen verschlafen habe``
oder
,,Es ist Zufall, daß ich im 20. Jahrhundert geboren wurde und bisher jeden Tag satt geworden bin.``

Es ist klar, daß hier mit Mathematik nicht viel auszurichten ist. Anders ist es, wenn Zufälligkeiten oder Unregelmäßigkeiten massenhaft auftreten, so daß sie statistisch untersucht werden können. (Zum Verschlafen oder Zuspätkommen seiner Schüler könnte ein Lehrer natürlich eine Statistik machen und vielleicht sogar eine Zuspätkommwahrscheinlichkeit ermitteln, vgl. auch den Abschnitt über die Binomialverteilung.)

Typisch für zufällige Erscheinungen ist, daß sie in komplexen Systemen auftreten, in denen ganz kleine Veränderungen irgendwelcher Systemgrößen große Auswirkungen haben können. Hier könnte man die Lottomaschine, das Roulette oder Mutationen in der Biologie als Beispiele benutzen.

Bei physikalischen Prozessen können geringe Veränderungen der Anfangsbedingungen erhebliche Auswirkungen haben. Wenn in solchen Situationen die Anfangsbedingungen nicht genau bekannt sind, liegt es nahe, von ,,Zufall`` zu sprechen.

Oft ist es eine Frage der Zweckmäßigkeit, daß man auf eine genaue physikalische Modellierung (beispielsweise Beschreibung der Bewegung jedes einzelnen Teilchens eines Teilchensystems) verzichtet und einfach eine stochastische Beschreibung (Wahrscheinlichkeit, daß sich eine bestimmte Zahl von Teilchen in einem bestimmten Teil des Raumes befindet) benutzt. Das könnte anhand des Galtonschen Bretts oder des Modells des idealen Gases beschrieben werden.

Beim Würfeln könnte man mit großem Aufwand an Physik für einen speziellen Wurf des Würfels die Bahn des Würfels, seine Drehungen und seine endgültige Lage im voraus berechnen. Aber das wird nicht als lohnend angesehen, insbesondere dann, wenn man sich nur für die Endlage des Würfels interessiert. Dann genügt die stochastische Modellierung. Daß im konkreten Fall das Modell des idealen Würfels (jede Augenzahl tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auf) richtig ist, kann durch statistische Methoden geprüft werden. Dazu sind sehr viele Würfe durchzuführen, und man kann dann bestimmte Hypothesen testen. Beispiele sind:
Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist gleich 1/6,
ausführbar mit dem im Lehrplan vorgesehenen Test der Hypothese
$H_0:\ p=p_0=1/6$
oder
Alle Augenzahlen treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf,
ausführbar mit dem $\chi^2$-Anpassungstest (der nicht zum Schulstoff gehört).

Damit als zufällige Ereignisse nicht vorwiegend Katastrophen oder Unfälle benutzt werden, könnte man eine zweifache Gliederung des Zufalls vornehmen:

Innerer -- äußerer Zufall

,,Guter`` -- ,,böser`` Zufall

In der Erdgeschichte könnte man zum inneren Zufall rechnen die Plattentektonik, Sedimentationsprozesse, die Mutationen, überhaupt die Art und Weise, wie die biologischen und geologischen Prozesse verlaufen sind. Äußerer Zufall sind hier zum Beispiel Katastrophen wie Meteoriteneinschläge (z. B. der auf die Halbinsel Yucatan, der vermutlich zum Aussterben der Saurier führte) oder vielleicht die Eiszeiten.

In den Werkstoffwissenschaften weist die Struktur vieler Werkstoffe kleine zufällige Schwankungen auf, die zum Beispiel mit den Herstellungsprozessen oder Materialinhomogenitäten zusammenhängen. Dieser innere Zufall wird mit stochastischen Methoden analysiert und modelliert und statistisch mit Bildanalysegeräten (ausgehend von ebenen, polierten Schnitten) untersucht. Als äußeren Zufall könnte man in diesem Zusammenhang starke Belastungen auffassen, die eventuell zu Schädigungen oder Brüchen führen. (Es gibt die Spezialdisziplin der ,,Bruchmechanik``.)

Schließlich ist jeder Wald ein Tummelplatz des Zufalls. Die Orte, an denen die Bäume stehen, sind zufällig, auch wenn am Anfang die Bäume reihenweise angepflanzt worden sind. Die Bäume stehen niemals ideal rasterförmig, und durch zufällige Prozesse oder die Arbeit des Försters verschwinden einzelne Bäume, wodurch das Muster der Baumstandorte unregelmäßiger wird. Die Bäume wachsen unterschiedlich schnell, bedingt durch genetische Ursachen oder Umweltbedingungen. Diese inneren zufälligen Prozesse werden intensiv von Forststatistikern untersucht. Äußerer Zufall ist in diesem Zusammenhang vielleicht das Auftreten von Sturmschäden oder schädlichen Insekten.

Die Abgrenzungen von innerem und äußerem Zufall ist sicherlich oft willkürlich. Wenn man an einer Autobahn die Fahrzeuge beobachtet, stellt man Schwankungen in Geschwindigkeit und Verkehrsdichte fest, die man sicherlich zum inneren Zufall des Straßenverkehrs rechnen könnte. Aber sind nun Unfälle äußerer oder innerer Zufall? Ein durch die Plattentektonik verursachtes Erdbeben ist sicher für viele Prozesse auf der Erde äußerer Zufall.

Im täglichen Leben wird uns wahrscheinlich häufiger der böse Zufall bewußt, zum Beispiel im Zusammenhang mit Störungen oder Unfällen. Der böse Zufall macht sich auch durch Meßfehler bemerkbar, die an sich klare Zusammenhänge zwischen Meßgrößen vernebeln. Überhaupt machen zufällige Schwankungen das Leben oft komplizierter (aber auch interessanter, man denke auch an Größe und Gewicht des Menschen). Der Zufall hat nach heutiger wissenschaftlicher Auffassung durch Mutationen zu der Artenfülle auf der Erde geführt. Man könnte also von gutem Zufall sprechen. Mutationen führen aber auch zu Mißgeburten. Gegenwärtig gibt es im Zusammenhang mit der Gentechnik große Diskussionen wegen der Möglichkeit, in der weiteren Evolution der Arten den Zufall zurückzudrängen und statt dessen den Menschen am Erbgut Veränderungen vornehmen zu lassen. (Es gibt das Wort ,,Der Zufall ist der Gott der Gottlosen``.)

Guter Zufall dient dem Menschen auch im Zusammenhang mit Zufallszahlen, zum Beispiel bei der Monte Carlo-Integration, bei der Bildung zufälliger Stichproben und bei der Simulation zufälliger Prozesse, vergleiche dazu Abschnitt 5.

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