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3.      Anwendung der Stochastik

Im folgenden werden zahlreiche Anwendungen der Stochastik beschrieben mit dem Ziel, dem Lehrer Anregungen zu geben, was er den Schülern erzählen kann. Vielleicht ist das Spektrum breit genug, um den Geschmack vieler Lehrer zu befriedigen.

1. Konstruktion von Stichproben

In vielen Situationen möchte man Information über große Kollektive, ,,Grundgesamtheiten``, erhalten. Aus Zeit- und Kostengründen ist es nicht möglich, alle Mitglieder einzeln zu untersuchen, sondern man muß sich auf Stichproben beschränken. Diese Stichproben sind so zu wählen, daß sie repräsentativ sind, daß sie die Grundgesamtheit gut widerspiegeln.

Der Lehrer könnte die Bildung zufälliger Stichproben im Unterricht demonstrieren. Dabei sollte er von den Schülern seiner Klasse ausgehen, obwohl deren Anzahl für statistische Zwecke sicherlich zu klein ist. Das Ziel könnte darin bestehen, eine Stichprobe vom Unfang 3 bis 6 zu erzeugen. Der Lehrer könnte zunächst von den Geburtsdaten ausgehen und in die Stichprobe zum Beispiel alle Schüler nehmen, die im Juli geboren sind. (Astrologie-Gläubige würden das wahrscheinlich als unzulässig ansehen, weil das ihrer Ansicht nach auf charakterlich ähnliche Leute führen würde.) Sollten es zuwenig sein, könnte noch ein weiterer Monat hinzugenommen werden. (Wichtig ist dabei, daß die Monate vorher festgelegt werden, am besten von ahnunglosen Schülern.)

Ein anderes Auswahlkriterium könnte der erste Buchstabe des Nachnamens sein. (Der Lehrer könnte die Schüler erheitern, indem er die Familiennamen deutscher Kanzler, Ministerpräsidenten, Präsidenten und Staatsratsvorsitzenden nennen ließe und feststellte, daß relativ viele im vorderen Teil des Alphabets liegen.)

Eine Verfeinerung ist eine geschichtete oder stratifizierte Stichprobe. Wenn die Klasse aus drei Gruppen besteht, zum Beispiel Schüler mit Wohnort in A-Stadt, Schüler aus Gemeinden nördlich und südlich von A-Stadt, könnte man folgendermaßen vorgehen. Zu der Klasse mögen 30 Schüler gehören, davon 15 in der ersten, 10 in der zweiten und 5 in der dritten Gruppe. Die Aufgabe bestehe darin, eine repräsentative Stichprobe vom Umfang 4 zu ziehen. Entsprechend den Anteilen an der Gesamtzahl könnte man festlegen, aus der ersten Gruppe 2 und aus der zweiten und dritten Gruppe je 1 Schüler auszuwählen. Innerhalb der Gruppen werden die Schüler durch Zufallszahlen ausgewählt. Dazu werden die Schüler von jeder Gruppe von 1 an aufsteigend durchnummeriert. In der ersten Gruppe werden also die Zahlen 1 bis 15 vergeben. Dann nimmt man eine Zufallszahlentabelle oder einen Taschenrechner und erzeugt damit zweistellige Zufallszahlen. Die ersten beiden Zufallszahlen kleiner oder gleich 15 sind die Nummern der auszuwählenden Schüler in der ersten Gruppe usw., vergleiche Stoyan (1993). Zur Auswahl der Schüler aus der dritten Gruppe könnte man auch einen Würfel nehmen.


Statistische Qualitätskontrolle

Ein klassisches Anwendungsgebiet statistischer Methoden ist die Qualitätskontrolle. Ihr Ziel besteht darin, den Ausschußanteil in Produktionsprozessen zu ermitteln bzw. nachzuweisen, daß der Ausschußanteil unter einer vorgegebenen Grenze liegt. Das Problem für den Statistiker besteht darin, Stichprobenumfänge zu ermitteln, die möglichst gering sind, aber dennoch einigermaßen sichere Aussagen ermöglichen. Je größer die Stichprobe ist, desto sicherer ist die Aussage, aber das bedeutet oft mehr Kontrollarbeit und, bei zerstörender Prüfung, größeren finanziellen Verlust. Es gibt viele statistische Prüfpläne, darunter auch solche, die ,,sequentiell`` sind, bei denen nach Prüfung einer ersten Stichprobe entschieden wird, ob noch eine zweite Stichprobe entnommen wird oder ob die Prüfung beendet wird. Über statistische Qualitätskontrolle gibt es eine umfangreiche Literatur.


Zahlenlotto

Den Schülern könnte auch das Zahlenlotto-Spiel als Diskussionsthema serviert werden. Dabei sollte aber nicht so sehr an die Zufälligkeit der Ziehung gedacht werden (immerhin sollte erklärt werden, daß es kein System der sicheren Vorhersage gibt). Vielmehr sollte auf die Möglichkeit hingewiesen werden, ,,gute`` und ,,schlechte`` Tips abzugeben. (Darüber hat sogar die ,,Bild-Zeitung`` im Januar 1998 berichtet.) Ein schlechter Tip ist derjenige, bei dem man im Fall eines Gewinnes nur eine geringe Quote erzielt, weil viele Mitspieler gleiche Zahlen getippt haben. So ist es zum Beispiel eine schlechte Idee, die Zahlen der Vorwoche zu spielen. Ebenso ist es nicht empfehlenswert, solche Zahlen auf dem Tippschein anzukreuzen, bei denen sich ein hübsches Muster ergibt, z. B. ein Kreuz oder ein Viereck; der ,,dumme`` Tip 9-13-23-27-38-40 gab 1997 zu Diskussionen Anlaß. Er sieht folgendermaßen aus:
Tip 9-13-23-27-38-40
Da häufig die Tippzahlen aus Geburtsdaten gebildet werden, sind die Zahlen unter 30 nicht besonders günstig. Als besondere ,,Billigmacher`` gelten die Zahlen 7 und 19, während relativ selten die Zahlen 20, 29, 37, 47 und 48 getippt werden. Zum Thema der geschickten Wahl von Lottozahlen vgl. das Buch von Henze und Riedwyl (1998).


Bestimmung der Größe von Tierpopulationen

Ein schwieriges statistisches Problem ist die Zählung von Tieren auf freier Wildbahn. Das Beobachten von wilden Tieren ist zufallsabhängig und erfordert sehr viel Zeit. Ein Verfahren, mit dem man zum Beispiel die Anzahl von Vögeln im Wald zählt, ist das Transekt-Verfahren. Hier zählt man die Vögel, die man zu beiden Seiten eines Waldweges singen hört. Um diese Zählergebnisse auf die Anzahl der Vögel je Flächeneinheit umrechnen zu können, braucht man allerdings eine Abschätzung der Entfernung, in der man einen bestimmten Vogel (z. B. einen Buchfink) singen hört. Die Anzahl von Hasen oder Füchsen könnte man anhand von Spurendichten im Winterwald ermitteln. Das funktioniert aber nur, wenn man biologisch begründete Vorstellungen über die Bewegungsaktivität der Tiere hat. Schließlich können Abschußzahlen oder Anzahlen überfahrener Tiere Hinweise über die Populationsdichte liefern, die gegenwärtig bei Füchsen zum Beispiel 2 bis 3 je km2 betragen soll. Im Unterricht wird man sicher nur das Problem, nicht aber seine Lösung schildern können.


Die Mendelschen Gesetze

Ein berühmtes Beispiel über das Auftreten des Zufalls in der Biologie und sein Studium ist die Entdeckung der Mendelschen Gesetze durch Gregor Mendel. Dieser kreuzte zum Beispiel Erbsen miteinander und stellte fest, daß Farben oder andere Merkmale in bestimmten Proportionen bei den Nachkommen auftreten, wobei die Anteile (zum Beispiel die Farbe Rosa) zufällig schwanken. In längjährigen Versuchen hat Mendel diese Proportionen erkundet; heute würde man sagen, er hat die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten geschätzt. Übrigens meint man heute, daß seine Schätzwerte zu nahe an den theoretisch erwarteten Werten wie zum Beispiel 1/2 oder 1/4 lagen, wohl weil Mendels Helfer ahnten, welche Ergebnisse er erwartete und ihm eine Freude machen wollten. Die heutigen Gymnasiasten lernen im Biologieunterricht, wie die Mendelschen Gesetze molekularbiologisch erklärt werden können.


Arzneimittelstatistik

Ein wichtiges Anwendungsfeld der Statistik ist die moderne Arzneimittelentwicklung. Wenn Mediziner und Biochemiker nach mühevoller Forschungsarbeit neue Arzneimittel entwickelt haben, können diese nicht sofort in den allgemeinen Gebrauch genommen werden. Vielmehr sind umfangreiche Erprobungen notwendig, zunächst oft an Versuchstieren, später an Versuchspersonen und schließlich in besonderen Kliniken. Die Ergebnisse werden gründlich beobachtet und mit ausgeklügelten statistischen Verfahren ausgewertet, um mit möglichst geringem Aufwand möglichst sichere Aussagen zu erhalten. Den Schülern könnte die wichtige Idee der Verwendung von Placebo-Medizin erläutern werden, mit der Vergleichswerte beschafft werden.


Forststatistik

Viele zufällige Erscheinungen kann man in Wäldern beobachten. Offensichtlich schwanken die Baumstammdicken und die Anzahlen der Bäume je Flächeneinheit. So ist es kein triviales Problem, das in einem Wald anstehende Holzvolumen abzuschätzen. Im allgemeinen hat man nämlich nicht die Zeit, alle Bäume zu zählen und die Stammdurchmesser und -höhen zu messen. Es gibt zur Lösung des Problems statistische Verfahren, von denen eines darauf beruht, daß man einerseits im Wald einige Messungen durchführt und andererseits Luftbildaufnahmen (die eine grobe Zählung der Bäume ermöglichen) auswertet.

Ein ähnliches Problem ist die Schätzung von Ernteerträgen zum Beispiel von Kartoffeln oder Getreide. Hierüber läßt sich sicher mit Schülern gut diskutieren.


Zeitreihenanalyse

Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Statistik ist die Analyse von Zeitreihen. Solche Zeitreihen sieht man zum Beispiel in Tageszeitungen, wo Aktienkurse dargestellt werden, z. B. für die letzten Wochen oder Monate. Der Statistiker untersucht solche Zeitreihen in der Vergangenheit und versucht, stochastische Gesetzmäßigkeiten über das Verhalten solcher Zeitreihen zu finden, mit dem Ziel, Voraussagen für die Zukunft zu machen. Nach allgemeiner Meinung sind solche Voraussagen für Aktienkurse außerordentlich schwierig und riskant. Sicher kann man oft davon ausgehen, daß ein vorliegender Trend, wie zum Beispiel das Ansteigen des DAX, weiter anhalten wird. Aber es kann schon übermorgen passieren, daß ein Kurseinbruch stattfindet ....

Umfangreiche Zeitreihen liefern die Beobachtungen des Wetters. Hier weiß man aus Erfahrung, daß eine ziemlich gute Wettervorhersage (Erfolgsquote bei 60%) darin besteht zu sagen, daß das Wetter morgen so wie heute sein wird. Die Entwicklung des statistischen und - allgemeiner - wissenschaftlichen Denkens der Schüler könnte dadurch unterstützt werden, daß man die Frage diskutiert, was denn ,,gleiches Wetter`` eigentlich ist, welche Klassifizierungen sinnvoll sind.

Man könnte schließlich mit den Schülern demographische Probleme diskutieren. Geburten und Sterbefälle sind sicherlich zufällige Ereignisse, was die Anwendung stochastischer Methoden plausibel macht. Aber die Bevölkerungsentwicklung wird durch viele andere Faktoren beeinflußt, die schwer prognostizierbar sind (die wirtschaftliche Entwicklung, die Entwicklung des Gesundheitswesens, Auswanderung und Einwanderung).


Risikoabschätzung

In vielen Bereichen des täglichen Lebens treten Risiken auf, insbesondere Todesfälle oder Firmenpleiten. Seit hunderten von Jahren gibt es Lebensversicherungen und, als wichtige Grundlage dazu, Sterbetafeln. (Sie heißen bezeichnenderweise auf Englisch life tables.) Diese Sterbetafeln erlauben es zum Beispiel, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, daß eine Person des Alters x noch y Jahre lebt. Diese Werte sind für den Versicherer wichtig, um die Höhe der Versicherungsprämie und die der Auszahlungssumme festzulegen. (Daß das so geschieht, daß die Versicherungsanstalten gut verdienen, ist jedem offensichtlich, der die stolzen Gebäude der Versicherungsanstalten sieht.) Schwierig ist das Arbeiten mit Sterbetafeln deswegen, weil das Sterbeverhalten dynamisch ist. Die Lebenserwartung steigt gegenwärtig an, und eine Sterbetafel, die ja nur auf der Beobachtung der Vergangenheit beruhen kann, weist demzufolge Ungenauigkeiten auf, ist zu ,,pessimistisch``. Man müßte dabei Trends berücksichtigen, was zu Gunsten oder zu Ungunsten der Versicherten geschehen kann. Dabei ist es ein großer Unterschied, ob es um eine Lebens- oder Rentenversicherung geht, vgl. Krämer (1997), S. 105.

Viel schwieriger ist das Problem, Risiken bei der Kreditvergabe abzuschätzen. Hier geht es darum abzuschätzen, ob zum Beispiel die Geschäftsidee eines Firmengründers tragfähig genug ist, um einen hohen Kredit zu rechtfertigen. Da es hier kaum statistische Daten gibt, ist die Anwendung stochastischer Verfahren sicher nur in groben Abschätzungen möglich.


Zuverlässigkeitstheorie

Technische Geräte, wie zum Beispiel Kraftfahrzeuge oder Weltraumraketen, sind heutzutage offensichtlich sehr zuverlässig. Das heißt, sie arbeiten über längere Zeiträume hin ohne Störungen. Das beruht zu einem großen Maße auf der Arbeit von Ingenieuren, die von Zuverlässigkeitstheoretikern unterstützt wurden. Sie haben zum Beispiel Verfahren für die Bestimmung von Lebensdauern von Bauteilen entwickelt. So werden etwa Bauteile, deren Lebensdauer im Einsatz Jahre betragen soll, in Tests unter großer Hitze belastet, so daß die Prüfung in Stunden oder Tagen erfolgen kann, mit anschließender Umrechnung der Ergebnisse in die richtige Zeitskala. Ähnliches geschieht übrigens bei der Prüfung von Prothesen für Hüft- oder Kniegelenke. Auch hier fordert man hohe Zuverlässigkeit und lange Lebensdauer. Bei den Versuchen simuliert man an einem Tag die Belastung während eines Jahres. Vielfach werden Reservebauteile eingesetzt, die die Lebensdauer des Gesamtaggregats dadurch erhöhen, daß sie beim Ausfall eines Bauelements die Arbeit übernehmen (je nach Situation spricht man von kalter, warmer oder heißer Reserve; das Ersatzrad im PKW ist kalte Reserve); leider geht so etwas bei den Körperteilen des Menschen nicht. Die Aufgabe des Zuverlässigkeitstheoretikers besteht darin festzulegen, für welche Bauteile wieviele Reserveelemente einzubauen sind.

Den Beruf des Statistikers gibt es in Deutschland eigentlich nicht. Sicher könnte man die Mitarbeiter der Landesämter für Statistik als Statistiker bezeichnen. Manche Universitätsprofessoren und ihre Mitarbeiter nennen sich Statistiker, aber meist bevorzugen sie die Bezeichnung Stochastiker. Viele Anwender, besonders Ingenieure, Mediziner und Ökonomen, betreiben in einem Teil ihrer Arbeitszeit Statistik. Die hauptsächlichen Anwender und Weiterentwickler der Statistik sind aber viele Diplom-Mathematiker, die in der Industrie, in Forschungsinstituten und in Behörden arbeiten. Sie wenden ständig sogenannte Statistikpakete an, große Programmsysteme, die viele, zum Teil sehr komplizierte statistische Verfahren realisieren. Oft ist es nötig, die vorhandenen Programme zu erweitern oder an spezielle Anwendungsfälle anzupassen. Daher werden sehr gute Programmierkenntnisse verlangt, gegenwärtig vor allem in der Programmiersprache C++ sowie ein umfangreiches Methodenwissen über statistische Verfahren. Dabei ist eine ständige Weiterbildung erforderlich. Die Stellenaussichten für solche Fachleute, insbesondere für Universitätsabsolventen, sind zur Zeit (1998) sehr gut. Es gibt Betriebe, die ihren Angestellten Kopfprämien zahlen, wenn sie es schaffen, neue Mitarbeiter zu werben.

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