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4.   Stochastische Modelle

Leider sind die Möglichkeiten der Demonstration der Anwendung stochastischer Modelle im Schulunterricht ziemlich begrenzt. Dennoch gibt es recht gute Möglichkeiten, wie im folgenden gezeigt wird.


Urnenmodell -- hypergeometrische Verteilung

In einer Urne liegen N Kugeln. Davon sind r rot und N-r blau. Aus der Urne werden ohne Zurücklegen M Kugeln entnommen. Man fragt nach der Wahrscheinlichkeit, daß unter den entnommenen Kugeln m rot sind. Bekanntlich wird diese Wahrscheinlichkeit Pm durch die hypergeometrische Verteilung gegeben:

\begin{displaymath}
P_m=\frac{{r\choose m}{{N-r}\choose{M-m}}}
{{N\choose M}}\quad\mbox{f\uml ur }m=0,1,\ldots,M\,.\end{displaymath}



Das Zahlenlotto kann bekanntlich durch dieses Urnenmodell beschrieben werden.

Ebenso können Probleme der Qualitätskontrolle durch das Urnenmodell modelliert werden. Den Kugeln in der Urne entsprechen die zu untersuchenden Objekte. Die roten Kugeln könnten die mangelhaften Objekte sein. Dann liefert die obige Formel für Pm die Wahrscheinlichkeit dafür, eine bestimmte Anzahl von mangelhaften Objekten in einer Stichprobe zu beobachten. Bei diesem Problem ist N, n und k bekannt, und das Ziel des Statistikers besteht darin, M zu ermitteln oder, was leichter möglich ist, mit großer Sicherheit zu sagen, daß die Anzahl mangelhafter Objekte kleiner oder größer als eine vorgegebene Schranke ist. Den Schülern könnte erklärt werden, daß erstens eine exakte Lösung der Aufgabe unmöglich ist, daß aber zweitens gute statistische Verfahren zu seiner Näherungslösung existieren.

Das Urnenmodell kann ferner im Zusammenhang mit sogenannten Capture-recapture-Modellen, wie sie Ökologen zur Bestimmung der Stärke von Populationen benutzen, angewendet werden. Man stelle sich einen Teich vor, in dem N Fische schwimmen, wobei N unbekannt ist. Um N statistisch zu ermitteln, fängt man r Fische, markiert sie und wirft sie in den Teich zurück. Nach einigen Tagen macht man einen erneuten Fischzug, fängt dabei M Fische und findet unter diesen m markierte Fische. Damit ist es möglich, N näherungsweise zu bestimmen. (Dabei wird angenommen, daß gefangene Fische nicht lernen, sich also in Zukunft nicht schwerer fangen lassen.) Man könnte den besonders begabten Schülern als Hausaufgabe geben, sich eine Lösung dieses statistischen Problems auszudenken, wobei konkrete Zahlen (für r, M und m) hilfreich wären. Im Unterricht könnte man dann zwei statistische Methoden zur Schätzung von N diskutieren, vergleiche Stoyan (1993), Seite 93.


Bernoulli-Schema -- Binomialverteilung

Man führt nacheinander n unabhängige Versuche durch, deren Ergebnis entweder ,,Erfolg`` oder ,,Mißerfolg`` ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist bei allen Versuchen gleich p. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man bei n Versuchen k Erfolge hat, ist durch die Wahrscheinlichkeit Pk gegeben,

\begin{displaymath}
P_k={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\quad\mbox{f\uml ur }
k=0,1,\ldots,n\,.\end{displaymath}



Dieses Beispiel ist wahrscheinlich das für den Schulunterricht am besten geeignete Modell. Im Unterricht sollten die Voraussetzungen genau erklärt werden, und es sollten verschiedene Anwendungsbeispiele behandelt werden. Ein Beispiel sollte aber zur Modellierung einer realen Situation verwendet werden, wobei durch eine statistische Erhebung näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten Pk bekannt sind. Es wäre für dieses konkrete Beispiel zu diskutieren, ob die Modellannahmen richtig sind bzw. sein könnten, und wie man die Erfolgswahrscheinlichkeit p schätzt. Das Beispiel mit den Leipziger Vier-Kinder-Familien könnte dabei verwendet werden, vergleiche Stoyan (1993), S. 99.

Schön wäre es, wenn auch Zeit wäre, die Poisson-Verteilung als Grenzfall der Binomialverteilung für großes n und kleines p zu behandeln. Das berühmte Beispiel mit der Anzahl der preußischen Soldaten, die pro Jahr durch einem Huftritt eines Pferdes starben, ist auch heute noch sehr instruktiv. Die Anzahl der Versuche ist hier die Anzahl der Kontakte von Soldaten mit Pferden eines Jahres, also eine ungeheuer große Zahl. Die ,,Erfolgswahrscheinlichkeit`` sehr aber klein, weil im vorigen Jahrhundert viele Soldaten große Erfahrungen mit Pferden hatten.

Ein Beispiel, daß ein Lehrer selbst erzeugen könnte, wäre eine Statistik über die Anzahl der Schüler, die zu seinen Stunden nach dem Klingelzeichen  erscheinen. Hier könnte man eine Poisson-Verteilung erwarten, die vielleicht jedoch keine besonders gute Approximation ist, weil die Schüler manchmal gruppenweise zu spät kommen. (Aber gerade solche Abweichungen von den Modellannahmen sind ja diskutierenswert.)

Schließlich ist die Normalverteilung als wichtiges Modell der Biometrie erwähnenswert. Der Lehrer könnte (unter Beachtung des Datenschutzes) die Schüler bitten, ihre Körpergrößen und Gewichte zu notieren. Er könnte dann zu Hause Histogramme für Größe und Gewicht einzeln anfertigen und würde den Schülern wahrscheinlich eine Ähnlichkeit zur Normalverteilung zeigen können. Er könnte diskutieren, inwieweit es methodisch anfechtbar ist, Mädchen und Jungen in einen Topf zu werfen. Lehrreich wäre es, Größen und Gewichte auf einer Folie in einem (x,y)-Koordinatensystem darzustellen, die Punktwolke zu diskutieren (man sei taktvoll gegenüber ,,extremen`` Schülern) und eine Ausgleichsgerade einzuzeichnen.

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