next up previous
Next: Literatur Up: Motivationshilfen zum Stochastik-Unterricht an Previous: Stochastische Modelle

5.   Simulationen

Im folgenden werden verschiedene kleine Simulationsprogramme aufgeführt, die als Anregung dienen sollen. Sie werden als Programmskizzen gegeben. Zum Verständnis wird für das erste Programm auch das ausführliche Pascal-Programm angegeben. Es wird erwartet, daß aus dem Informatikunterricht so viel bekannt ist, daß aus den Programmskizzen lauffähige Programme gemacht werden können. Weitere Programme dieser Art findet man auch in den Büchern Stoyan (1993) und Isaac (1995). Interessenten können von den Verfassern eine Diskette mit den Programmen erhalten.


Simulation des Münzwurfs

Dieser Algorithmus simuliert das Werfen einer fairen Münze. Er gibt die relative Häufigkeit der Wappen (identifiziert mit dem Ereignis, daß eine Zufallszahl kleiner als 0,5 ist) nach jedem Versuch. Für eine große Zahl n von Versuchen sollte die relative Häufigkeit der Wappen bei 0,5 liegen.

1. Randomize

2. Eingabe der Anzahl der Versuche n

3. Initialisiere den Versuchszähler i auf 0

4. Initialisiere den Wappen-Erfolgszähler k auf 0

5. Erhöhe i um 1

6. Wähle eine Zufallszahl z zwischen 0 und 1

7. Falls z<0,5, dann erhöhe k um 1

8. Drucke i und k/i

9. Wiederhole ab Schritt 5 bis $i\ge n$


Das zugehörige Pascalprogramm lautet:

program Muenzwurf;
uses crt;
var i,k,n:integer;
    z:real;

begin randomize;
      clrscr;
      write('Anzahl der Versuche = ');
      readln(n);
      i:=0;
      k:=0;
      repeat
             i:=i+1;
             z:=random;
             if z<0.5 then k:=k+1;
             writeln(i:5,k/i:12:5);
             delay(600);
      until i>=n
end.




Berechnung des Integrals einer Funktion

Es sei f(x) eine positive Funktion auf dem Intervall [0,1] mit dem Maximalwert m. Gesucht ist das Integral

\begin{displaymath}
\int\limits_0^1f(x){\rm d}x\,.\end{displaymath}

Es wird als Produkt aus m und der Wahrscheinlichkeit, daß ein Zufallspunkt in dem Rechteck $[0,1]\times[0,m]$ unter der Kurve y=f(x) liegt, bestimmt. Wenn der Wert des Integrals vorher bekannt ist, können die Schüler die ,,Konvergenz`` gegen den wahren Wert erleben.

Man sollte ihnen aber nicht verschweigen, daß die ,,Monte Carlo-Integration`` im eindimensionalen Fall (nur eine Variable x) sehr ungenau ist und daß Verfahren der numerischen Mathematik hier viel schneller und genauer arbeiten. Bei höher-dimensionalen Integrationen (zum Beispiel 20 Variable $x_1,\ \ldots,\ x_{20}$) mag es anders aussehen; aber dafür fehlen dann im Unterricht die Beispiele.

1. Randomize

2. Eingabe der Anzahl der Versuche n

3. Eingabe des Maximalwerts der Funktion m

4. Initialisiere den Versuchszähler i auf 0

5. Initialisiere den Erfolgszähler k auf 0

6. Erhöhe i um 1

7. Wähle eine Zufallszahl x zwischen 0 und 1

8. Wähle eine Zufallszahl y zwischen 0 und 1

9. Berechne $x:=y\cdot m$

10. Falls y<f(x), dann erhöhe k um 1

11. Drucke i und $m\cdot k/i$

11. Wiederhole ab Schritt 6 bis $i\ge n$



Berechnung des Volumens der Einheitskugel

Das Volumen der Einheitskugel ist gleich der Wahrscheinlichkeit, daß ein zufälliger Punkt aus dem Würfel $[-1,+1]\times[-1,+1]\times[-1,+1]$ einen Abstand kleiner oder gleich 1 vom Würfelmittelpunkt hat, multipliziert mit 23=8.

Da das Volumen einer Kugel mit dem Radius 1 mit $4\pi/3$ vorher bekannt ist, können die Schüler die ,,Konvergenz`` gegen den wahren Wert erleben.


1. Randomize

2. Eingabe der Anzahl der Versuche n

3. Initialisiere den Versuchszähler i auf 0

4. Initialisiere den Erfolgszähler k auf 0

5. Erhöhe i um 1

6. Wähle eine Zufallszahl x zwischen 0 und 1, bilde x:=2x-1

7. Wähle eine Zufallszahl y zwischen 0 und 1, bilde y:=2y-1

8. Wähle eine Zufallszahl z zwischen 0 und 1, bilde z:=2z-1

9. Falls $x^2+y^2+z^2\le 1$, dann erhöhe k um 1

10. Drucke i und $8\cdot k/i$

11. Wiederhole ab Schritt 5 bis $i\ge n$




Monte Carlo-Abschätzung der Wahrscheinlichkeit für den ,,Ruin eines Spielers``

Ein Spieler spielt gegen eine Bank. Sein Kapital ist gleich s und das der Bank gleich a. Bei jedem Spiel gewinnt der Spieler mit Wahrscheinlichkeit p 1DM, und mit Wahrscheinlichkeit 1-p verliert er 1DM. Das Spiel wird solange fortgeführt, bis entweder die Bank oder der Spieler ruiniert ist. Wenn p kleiner als 0,5 ist (wie meist üblich) und s klein im Vergleich zu a ist, dann wird mit großer Wahrscheinlichkeit der Fall des Ruins des Spielers eintreten. Man kann die Ruinwahrscheinlichkeit exakt berechnen, aber hier soll sie durch Simulation ermittelt werden.

1. Randomize

2. Eingabe der Anzahl der Versuche n

3. Initialisiere den Versuchszähler i auf 0

4. Initialisiere der Erfolgszähler k auf 0

5. Eingabe des Anfangskapitals s des Spielers

6. Eingabe des Anfangskapitals a der Bank

7. Eingabe der Erfolgswahrscheinlichkeit p

8. Erhöhe i um 1

9. Initialisiere Summe auf s

10. Wähle eine Zufallszahl X zwischen 0 und 1

11. Falls X<p, dann Gewinn:=+1, andernfalls Gewinn:=-1

12. Bilde Summe:=Summe+Gewinn

13. Falls $Summe\le0$, dann erhöhe k um 1

14. Wiederhole ab Schritt 10 bis $Summe\le0$ oder $Summe\ge s+a$

15. Drucke i und k/i

16. Falls i<n, dann gehe nach Schritt 8


Normalverteilung

Näherungsweise normalverteilte verteilte Zufallszahlen mit dem Erwartungswert 6 und der Streuung 1 kann man erhalten, indem man 12 gleichmäßig auf [0,1] verteilte Zufallszahlen addiert. Aus solchen Zufallszahlen erhält man normalverteilte Zufallszahlen mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Streuung $\sigma^2$, indem man die Zahl 6 subtrahiert, mit $\sigma$ multipliziert und schließlich $\mu$ addiert. Dieses Verfahren nennt man ,,Zwölferregel``.

1. Randomize

2. Eingabe der Erwartungswertes $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$

3. Addiere 12 Zufallszahlen zwischen 0 und 1

4. Bezeichne das Ergebnis mit s

5. Drucke $(s-6)\sigma+\mu$


Geradenverfälschung

Zwischen den Variablen x und y besteht der lineare Zusammenhang y=a+bx. Dieser Zusammenhang wird durch normalverteilte Zufallszahlen zi mit der Standardabweichung s verfälscht, indem zu den Werten yi=a+bi die zi addiert werden. Die zi können als zufällige Meßfehler interpretiert werden. Den Schülern kann mit Hilfe dieses Programmes gezeigt werden, wie Meßfehler theoretische Zusammenhänge vernebeln können und sie anregen, darüber nachzudenken, wie man aus den verfälschten Werten die wahren Geradenparameter a und b ermitteln könnte.

1. Randomize

2. Eingabe der Geradenparameter a und b

3. Eingabe der Standardabweichung des zufälligen Fehlers s

4. Berechne die theoretischen Werte yi=a+bi für $i=1,\ldots,10$

5. Berechne nach der Zwölferregel die 10 zi

6. Drucke die Zahlen yi und yi+zi für $i=1,\ldots,10$


Bernoulli-Schema

Das Bernoulli-Schema wird m-mal realisiert. Dabei werden jeweils n Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p durchgeführt. Ausgedruckt werden die relativen Häufigkeiten für i Erfolge; $i=0,\ \ldots,\ n$.

1. Randomize

2. Eingabe der Anzahl der Versuchsreihen m

3. Eingabe der Anzahl der Versuche n

4. Eingabe der Erfolgswahrscheinlichkeit p

5. Initialisiere die Häufigkeiten hi=0 für $i=1,\ldots,n$

6. Initialisiere den Versuchsreihenzähler j auf 0

7. Erhöhe j um 1

8. Initialisiere den Erfolgszähler k auf 0

9. Initialisiere den Versuchszähler i auf 0

10. Erhöhe i um 1

11. Wähle eine Zufallszahl x zwischen 0 und 1

12. Falls x<p, dann erhöhe k um 1

13. Wiederhole ab Schritt 10 bis $i\ge n$

14. Erhöhe hk um 1

15. Wiederhole ab Schritt 7 bis $j\ge m$

16. Drucke die relativen Häufigkeiten hi/m für $i=0,\ \ldots,\ n$


Dreieck

Ein Streichholz der Länge 1 wird an zwei zufälligen Stellen geknickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man aus dem geknickten Streichholz ein Dreieck bilden kann? Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht schwer zu berechnen, aber das Programm liefert sie durch Simulation.

1. Randomize

2. Eingabe der Anzahl der Streichhölzer n

3. Initialisiere den Erfolgszähler k auf 0

4. Initialisiere den Versuchszähler i auf 0

5. Erhöhe i um 1

6. Wähle zwei Zufallszahlen u und v zwischen 0 und 1

7. Setze die größere von u und v gleich y, die kleinere gleich x

8. Falls x<0.5 und y>0.5 und y-x<0.5, dann erhöhe k um 1

9. Wiederhole ab Schritt 5 bis $i\ge n$

10. Drucke die Erfolgswahrscheinlichkeit k/n


next up previous
Next: Literatur Up: Motivationshilfen zum Stochastik-Unterricht an Previous: Stochastische Modelle