Der Kaffee ist zu heiß -- das Newtonsche
Abkühlungsgesetz
Wann ist der Kaffee kühler?
Annahmen:
- Die Abkühlung erfolgt nach dem Newtonschen
Abkühlungsgesetz.
- Die Temperatur einer Mischung
von einer
Flüssigkeitsmenge p mit der
Temperatur T0 und
einer Flüssigkeitsmenge q mit einer Temperatur T1
führt sofort dazu, dass die
Mischungsmenge p+q die Temperatur (pT0+qT1)/(p+q)
hat.
- Die Temperatur der Milch ist
geringer als die Zimmertemperatur
(=Umgebungstemperatur).
Frage:Wann ist der Kaffee kühler?
- Fall 1:
Der Kaffee kühlt zunächst 10
Minuten
ab und die Milch wird dann hinzugegeben.
- Fall 2:
Die Milch wird sofort in den Kaffee
geschüttet und die Mischung kühlt dann 10 Minuten ab.
Was glauben Sie? Gehen wir mathematisch vor. Es sei T0
die
Temperatur des Kaffees, T1<a,
die Temperatur der Milch, a
die Umgebungstemperatur (Milch kommt aus dem Kühlschrank).
Das Newtonsche Abkühlungsgesetz
Das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt einen
Abkühlungsprozeß mit folgender Differentialgleichung
(Anfangswertproblem):
dabei ist u die Temperatur des betrachteten Objekts
(Festkörper oder auch Flüssigkeit), a die
konstante Umgebungstemperatur und k>0 die konstante
Abkühlungsrate.
Wie sieht die Funktion u(t) aus?
Wir kennen zwar u(t) nicht, aber u'(t) ist gegeben.
Was wissen über die Funktion u(t)?
Monotonieverhalten:
Für u(t)>a
ist u'(t)=-k(u(t)-a)< 0 und die Funktion u(t)
ist streng
monoton fallend. Dagegen gilt
für u(t)<a die
Beziehung u'(t)=-k(u(t)-a)>0 und die
Funktion u(t) ist streng
monoton wachsend.
Krümmungsverhalten:
Wir bilden die zweite Ableitung von u(t):
und damit konvex
für u(t)>a und konkav
für u(t)<a.
Wie sieht die Lösung tatsächlich aus? Dazu
lösen wir die Differentialgleichung. Zunächst
erhält man, dass u(t)=a= const eine Lösung
der Differentialgleichung ist. Ist u(t) ungleich a, so
dividieren wir durch u-a und erhalten
Integrieren wir nun unbestimmt nach der Zeit t, so folgt
Anwenden der Exponentialfunktion führt auf
Wir können den Betrag folglich auflösen zu
Berücksichtigung der Anfangsbedingung ergibt: u(0) =
a + C und damit
Auswertung:
- Ist u(0)>a, so nimmt u(t) mit der
Zeit ab
und nähert sich für t gegen Unendlich der
Umgebungstemperatur a.
- Ist
dagegen u(0)<a, so nimmt u(t) mit der
Zeit zu und nähert sich für t gegen
Unendlich ebenfalls
der Umgebungstemperatur a.
Abkühlung des Kaffees
Im Fall 1 ist die Temperatur des Kaffees nach t1=10
Minuten:
wird der Kaffee nun mit der Milch gemischt, so ist die resultierende
Temperatur:
Dagegen gilt im Fall 2, dass die Anfangstemperatur der
Mischung gerade (pT0+qT1)/(p+q)
und zum Zeitpunkt t1 = 10 Minuten nun
gerade
ist. Welche Temperatur ist größer bzw. kleiner? Dazu
betrachten wir die Differenz:
Dieser Ausdruck ist negativ, wenn T1<a
gilt, d.h. der Kaffee ist im Fall 1 (erst kühlt der Kaffee ab
und dann wird die Milch dazugegeben) kühler als im Fall 2,
wenn die Temperatur der Milch kleiner als die Umgebungstemperatur ist.