Der Kaffee ist zu heiß -- das Newtonsche Abkühlungsgesetz

Wann ist der Kaffee kühler?

Annahmen: 

Frage:Wann ist der Kaffee kühler?
Was glauben Sie? Gehen wir mathematisch vor. Es sei T0 die Temperatur des Kaffees, T1<a, die Temperatur der Milch, a die Umgebungstemperatur (Milch kommt aus dem Kühlschrank).

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt einen Abkühlungsprozeß mit folgender Differentialgleichung (Anfangswertproblem):
Newtonsches Abkühlungsgestz
dabei ist u die Temperatur des betrachteten Objekts (Festkörper oder auch Flüssigkeit), a die konstante Umgebungstemperatur und k>0 die konstante Abkühlungsrate. 
Wie sieht die Funktion u(t) aus?

Wir kennen zwar u(t) nicht, aber u'(t) ist gegeben. Was wissen über die Funktion u(t)?

Monotonieverhalten: Für u(t)>a ist u'(t)=-k(u(t)-a)< 0 und die Funktion u(t) ist streng monoton fallend. Dagegen gilt für u(t)<a die Beziehung u'(t)=-k(u(t)-a)>0 und die Funktion u(t) ist streng monoton wachsend.

Krümmungsverhalten: Wir bilden die zweite Ableitung von u(t):
zweite Ableitung
und damit konvex für u(t)>a und konkav für u(t)<a.
Kurvenverlauf graphisch
Wie sieht die Lösung tatsächlich aus? Dazu lösen wir die Differentialgleichung. Zunächst erhält man, dass u(t)=a= const eine Lösung der Differentialgleichung ist. Ist u(t) ungleich a, so dividieren wir durch u-a und erhalten
ungleich a
Integrieren wir nun unbestimmt nach der Zeit t, so folgt
Integration
Anwenden der Exponentialfunktion führt auf
Exponentialfunktion anwenden
Wir können den Betrag folglich auflösen zu
Ergebnis
Berücksichtigung der Anfangsbedingung ergibt:  u(0) = a + C  und damit
Lösung
Auswertung:

Abkühlung des Kaffees

Im Fall 1 ist die Temperatur des Kaffees nach t1=10 Minuten:
Fall 1
wird der Kaffee nun mit der Milch gemischt, so ist die resultierende Temperatur:
Temperatur Fall 1
Dagegen gilt im Fall 2, dass die Anfangstemperatur der Mischung gerade (pT0+qT1)/(p+q) und zum Zeitpunkt t1 = 10 Minuten nun gerade
Temperatur Fall2
ist. Welche Temperatur ist größer bzw. kleiner? Dazu betrachten wir die Differenz:
Differenz
Dieser Ausdruck ist negativ, wenn T1<a gilt, d.h. der Kaffee ist im Fall 1 (erst kühlt der Kaffee ab und dann wird die Milch dazugegeben) kühler als im Fall 2, wenn die Temperatur der Milch kleiner als die Umgebungstemperatur ist.