Alles fliegt nach oben, aber keiner ist oben geblieben -- die Raketengleichung.

Wir wollen die folgende Fragen beantworten:
Dazu benötigen wir zunächst eine Gleichung für das Verhalten der Rakete.

Herleitung der Raketengleichung.


Es bezeichne p=mv den Impuls der Rakete (ohne Auspuffgase) zur Zeit t. Deltap, Deltam und Deltav bezeichnen die Zuwächse in p, m und v  in einem Zeitintervall der Länge Deltat von t bis t+Deltat. Damit erhalten wir für den Impuls zur Zeit t+Deltat:
Gleichung für den Impuls
dabei ist w die Geschwindigkeit der ausgestoßenen Auspuffgase. Der zweite Term auf der rechten Seite beschreibt die Änderung des Impulses der Rakete aufgrund der Abgase (bei der Rakete entstehen die Abgase durch Verbrennen von Treibstoff und deshalb ist
Deltam < 0.
Wir berechnen nun den Differenzenquotienten:
Differenzenquotient
Mit Deltat  strebt  gegen 0 strebt auch Deltam gegen 0. Folglich erhalten wir
Ableitung des Impuls nach der Zeit
Mit ve=v-w ergibt sich die Gleichung
Impulsänderung
wenn F die äußeren Kräfte beschreibt, die auf die Rakete wirken.
Bemerkungen:
Wir untersuchen den Fall, dass die einzige auf die Rakete wirkende äußere Kraft die Schwerkraft ist, der Luftwiderstand wird vernachlässigt, d.h. wir untersuchen die Gleichung
Spezielfall
Diese ist äquivalent zu (m(t)=m ungleich 0)
äquivalente Gelichung
Integration nach t ergibt
Integration nach t
Die Integrationskonstante c kann aus einer Anfangsbedingung, d.h. der bekannten Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t=0, bestimmt werden. Nehmen wir an, dass die Rakete von der Erdoberfläche aus gestartet wird, dann ist v(0)=0 und wir erhalten:
mit Anfangsbedingung
und die Geschwindigkeit der Rakete (mit dem unverbrannten Treibstoff) ist
Geschwindigkeit der Rakete
Unter der Annahme, dass immer eine konstante Menge Treibstoff pro Zeiteinheit verbrennt, mr die Masse der Rakete und mf die Menge des Treibstoffs am Anfang ist, ergibt die Menge des Treibstoffs am Anfang ist, ergibt sich
Menge des Treibstoffs am Anfang
und für die Geschwindigkeit
Geschwindigkeit am Anfang
Die Parameter mr, mf und ve können so gewählt werden, dass GRfür GR1gilt, insbesondere ist GR2 äquivalent zu
äquivalente Gleichung

Zahlenbeispiel: Es seien
Zahlenbeispiel
bzw. der gesamte Treibstoff wird mit einer konstanten Rate innerhalb von 10s verbrannt. Dann hat die Geschwindigkeitskurve den folgenden Verlauf:
Geschwindigkeitskurvekurve
Eine Raketengleichung, die den Luftwiderstand berücksichtigt, kann mit Mitteln der HM 1 noch nicht gelöst werden.