Internet-Projekt für Theoretische Mathematik

Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Dieses Dokument wurde während der Pojektwoche duch Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener des Beruflichen Gymnasiums für Technik "Julius Weisbach" erstellt.

2. Spiralkonstruktion nach Dürer

2.6 Konstruktion von Normalen

Forthyn will ich die Schneckenlini eynfach machen/und vom Cirkelryß in Centru .a. füren/auch wider bletter darauff setzen/Aber die geraden Linien/die durch die bletter getzogen werden/stendt anders/dan die vorgestelten Linien/Erstlich reiß aus dem Zentrum .a. ein zirckelriß/und puncktir in mit ziffern wie vor/Aber die auffrecht Lini/.a.b. damit du umher ferst/die zerteyl mit .11. punckten in .12. gleiche felt/Und far dan wider mit herum/wie du vor bericht bist/und puncktir die Schneckenlinie/byß in Centro .a. Also ist dise Lini gemacht und zu vill dingen breuchlich/ sonderlich ist sie auch zu eynem Bischoffstab zu brauchen zu dem mus man im also thun/Zeuch von dem zirckelryß/aus dem punckten .6. eyn gerade Lini undersich/un brauch den halben zirckelryß/mit der grössern zall/zu sambt der Schneckenlini/Aber den andern halben zirckel/mit der mindern zal/laß aussen/darnach nym ein zirckel/un setz in mit dem ein fuß auf der zirckellini in de punckte .9. un mit de andern fuß/in de punckte .7. un reyß von dan rund herauß/eyn rundt zirckeltrum/darnach setz den eyn fuß in den punckten .7. und reyß mit dem andern fuß auß dem punckten .9. herauß/und wo sich die zwu krumen linien oben schliessen/da setz eyn punckten .c. unnd reiß von der zirckellini/auß dem punckten .8. ein gerade lini in dem punckten .c. Also thu im auch zwischen den zweyen punckten .9. und .11. und setz oben in der runden schlyssung eyn .d. Darnach setz den zirckel/mit dem eyn fuß/im zirckelriß/in den punckten .11. unnd mit dem andern fuß/auff die schneckenlini in den punckten .1. und reyß von dann ubersich hynauß/Darnach setz wider den ein fuß in den vorgemeltem punckten .1. und den andern in den punckten .11. un reyß von dan hynaus wo dan die krumen linien schlyssen da setz eyn .e. Also thu im darnach zu gleicher weis/auff der schneckenlini/zwischen den punckten .1/2. und .3/5. und .5/7. und .7/9. und .9/11. und betzeichen oben ir schlus/ nach einander .f.g.h.i.k. Darnach reis den blettern/auff in der schneckenlini. geradt rys .e.12/.f.2/g.4/h.6/i.8/k.10/Darnach bleibt noch uber ein trum zwischen .11. und dem Centro .a. das zeuch auch mit dem zirckel zusamen/und der schlus sei oben .l. Solichs wie oben beschriben/hab ich also nachfolget zwifeltig auff geryssen/Erstlich mit allen nöttigen rissen/darauß dise ding gemacht sind/darnach ledig/Dise verzeichnus ist zu vil dingen nützlich/Auch ist dise schneckenlini/ledig zu einem laubbossen zu brauchen/wie ich das auch hie nach hab auffgeryssen.

Nun möchte Dürer die Spirale einfacher konstturieren und vom Kreis in das Zenturm a führen und ebenfalls wieder Blätter der Spirale hinzufügen. Zu beginn zieht er einen Kreis und teilt ihn sowie den Radius in 12 gleiche Teile, welche nummeriert werden. Nun geht er zum Punkt 1 auf dem Kreis und markiert den Punkt 1 auf dem Radius. Dies setzt er fort, bis er im Mittelpunkt ankommt. Zu einem Bischofstab muss nun noch am Punkt 6 auf dem Kreis ein senkrechter Strich mit dem halben Radius hinzugefügt werden. Als nächstes setzt er den Zirkel in den Kreispunkt 9 und zieht einen Kreisbogen vom Kreispunkt 7 nach aussen, nun setzt er den Zirkel in den Kreispunkt 7 und zieht einen Kreisbogen vom Kreispunkt 9 nach aussen. Der Punkt, wo sich beide Linien schneiden wird als c bezeichnet, dieser Punkt wird nun mit dem Kreispunkt 8 verbunden. Im nächsten Schritt werden die Kreisbögen vom Kreispunkt 9, und 11 gezogen und die Schnittstelle mit d bezeichnet sowie eine Gerade zwischen 10 und d gezogen. Nun werden die Kreisbögen vom Kreispunkt 11 und dem Spiralpunkt 1 gezogen, der Schnittpunkt als e bezeichnet und über eine Gerade mit dem Spiralpunkt 0 (Kreispunkt 12) verbunden. Dies muss bis zum Mittelpunkt fortgesetzt werden, die Paare der Spiralpunkte sind 1, 3; 3, 5; 5, 7; 7, 9; 9, 11 und werden mit f, g, h, i, k bezeichnet. Die Verbindung der Geraden erfolgt über die Paare der Schnittpunkte und er Spiralpunkt, wie aufgelistet e, 12; f, 2; g, 4; h, 6; i, 8; k, 10. Danach müssen der Spiralpunkt 11 mit dem Mittelpunkt a über zwei Kreisbögen verbunden werden, wobei der Schnittpunkt mit l bezeichnet wird.

Anmerkung: Dies wurde zweimal aufgezeichnet, wobei die erste Konstruktion die Anweisungen enthält und die zweite Konstruktion als reines Abbild, ohne Anweisungen. Diese Kontruktion in vielen weiteren Konstruktionen, wie bei dem "Laubbossen" verwendet werden.

Abbildung 12:

Spiralkonstruktion 12 von Dürer
Dise lini dint zu einem Bischofstab.
Diese Spiralkonstruktion ermöglicht einen Bischofstab.
Abbildung 13:
Spiralkonstruktion 13 von Dürer
Dise blose lini des Bischofsstab.
Die einfache Spirale des Bischofstabs.
Abbildung 14:
Spiralkonstruktion 14 von Dürer
Dise lini dienet zu einem laubbossen.
Diese Spiralkonstruktion ermöglich einen "Laubbossen".

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