Internet-Projekt für Theoretische Mathematik

Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Dieses Dokument wurde während der Pojektwoche duch Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener des Beruflichen Gymnasiums für Technik "Julius Weisbach" erstellt.

2. Spiralkonstruktion nach Dürer

2.7 Konstruktion einer konischen Spirale

Es ist zu mercken/das der zirckelrys durch welche eyn Schneckenlini getzogen wirdet/mit punckten so in vil theil geteilt mag werde/als man will/dan ihe in mehrteyl er geteilt wirdet ihe genewer damit zumessen ist/und in so vil theyl du die zirkellini teylst/so in vil theyl mustu alweg dein richtscheyt theylen/darauß du die schnecken lini eynfach wilt machen/ Wiltu sie aber zwyfach tryfach/oder vierfach etc. machen/so vilfeltig dein richtscheyt mit den punckten und zaln zwyfach tryfach oder vierfach etc./ und lauff darnach wider mit herum/so findt sich dein begern/ Ob du aber sorgest/so du dein richtscheyt vilfeltigst/und im umlauffen auff dem zirckelryß von der ungleyche zal wegen/die sich begeben unnd obereynander lauffen/du möchtest darin irre werden/so thu im also/So du die zirckellini geteilt hast/ich setz hie in/12/teyl/so du dann dein schnecken lini/zwyfach/tryfach/oder vierfach wilt lassen herum lauffen/So theyl deyn richtscheyt in so vil punckten du wilt/unnd setz die zyffer darzu 1/2/3/etc. byß auff .12. Darnach heb wider an zu zellen .1/2/3/etc. bis auff .12. darnach thu im wider also/und aber also/Unnd richt dein richtscheyt mit den zyffern/das die zal alweg zusamen stymen zirckelryß und im richtscheyt/darmit du herum lauffest/so kanstu nit irre werden/So nun die schnekcen lini auff einer rechten ebne getzoge ist/will ich sie nachvolget von unden übersich ziehen leren/Es ist zu mercken so man etwas machen will/soll ma im vor seyn grundt setzen/es sey gebäw oder anders/Deshalb kan man die schnecke lini nit woll ubersich füren/sie sey dan vor im grund auff einer ebne nider gelegt/Darumb reyß erstlich den grund der negst vorgemachten blossen schnecke lini mit sambt irer zirckellini/darauß sie dann gemacht ist/wie sie dann da vorn stett/Aber alle ire bletter laß aussen/Doch mustu die ziffer bey den punckten in der schnecke lini verkeren das merck also/so du im zirkelriß herum komen byst/von .1. byß auff .12. darnach dritzt du mit den punckten hynein in die schnecken lini/da hebt sich die zal aber an/1/2/3/etc. dem thu aber hie anderst/so du fon dem punckten 12. der zirckellini in den ersten punckten der schnecken lini dritzt da dann vor eins stett/an die selb stat setz 13. also forthin in der zall byß auff .23. So nun diser grundt unden auffgeryssen ist/alßdann reyß ein auffrechte gerade lini auß dem punckten .6. ubersich durch den Centrum .a. und durch den punckte .12 so hoch du der bedarffst/Und zu irem end setz oben ein .a. dann der selb punckt .a. stett ob dem Centro .a Darnach schneyd unden dise auffrechte lini/a. mit einer zwerch lini .c.d. ab/der ort sei .b. Dise lini .a.b theil mit .23. punckten/in .24. gleiche felt/Ich will aber hie die felt ubersich in einer ordnung erlengen/wie voren angetzeigt/Darumb nym ich wider den selben weg fur mich/alleyn die zwen bustaben verker ich/das .a. setz ich oben das .b. unden/ des gleichen heb ich mit den zyffern unden an zuzelen ubersich 1/2/3/etc. So nun dise auffrechte lini geteylt mit iren punckten und zyffern mitten auff dem grund stet alßdan far ich mit einer auffrechte lini auß dem grundt des punkten .1. ubersich durch die zwerch lini c.d. Darnach far ich auß der rechte lini .a.b. auß dem punckte .i. mit einer zwerg lini gegen der auffrechten lini/die auß dem grundt des punkten .i. ubersich zogen ist/wo dann dise zwu lini eyn eck schliessen/da setz ich ein punckte .1. diß ist der erst punckte/der da anfecht in der auffgetzognen schnecken lini/Also thue ich im durch die gantz zal und punckten/des nyder getrügten grundes un der auffgetzognen lini .a.b zu beyden seyten/So puncktirt sich die schnecken lini von dem understen puncktenn .b. ubersich byß zu dem punckten .a. darnach zeuch ich die schnecken lini von punckt zu punckt/ Item so durch dise lini eyn schnecken styeg/in ein durn dach gemacht wirdet/so soll die underst staffel vil lenger seyn dan die oberst Und also hinauff nach ordnung ab geteilt werden/und ye mehr in spitzen/ye mehr sollen nach obgemelten dingen die staffeln höher werden/wie ich das hienach erstlich den grund des schnecken/unnd darob den schnecken auffgetzogen/mit allen nöttigen gestrackten linien/Und darnach die schnecken lini auch gantz ledig hab auff geryssen/Dise schnecken lini mag man eng ubereynander zyhen/oder rosch in die hoch streychen lassen/darnach man die lini .a.b. kurtz oder lang macht/ Dise lini ist zuvil andern dinge nutz/Auch hab ich den dryangel .a.b.c. darauß ich die lini .a.b. in iren teylen oben erlengt hab/durch den zirkelryß .a.e. mit aller zugehörung hernach auffgeryffenn/Item die obgemeltenn schnecken linien/mögen auch ecket getzogen werden so man allweg ein punckten oder zal zwisschen zweyen aussen lest/merck in dem auff zognen schnecken/so du zeuchst auß dem punckten .b. byß auff 2. ein gestrackte lini/von zweyen auff .4. von .4. auff .6. etc. Also forthin durch auß biß zu dem end/a.

Als erstes beschreibt Dürer, das die Spiral genauer werden, desto mehr Einteilungen Dürer auf dem Kreis vornimmt. Die Anzahl der Drehungen der Spirale wird durch das Vielfache der Einteilung des Lineals bestimmt. Nun zeichnet Dürer wieder einen Kreis, den er in 12 Teile teilt und die Punkte mit 1, 2, ... bezeichnet. Nun teilt er das Lineal in 12 gleiche Teile. Als nächstes legt er das Lineal auf die Punkte a und 1, wobei er den Linealpunkt 1 vom Kreis aus abträgt und mit 13 bezeichnet. Dies setzt er mit dem Kreispunkt 2 und dem Linealpunkt 2 fort, welchen er mit 14 bezeichnet. Dies setzt er bis in den Mittelpunkt fort. Nun zieht er eine Linie vom Mittelpunkt senkrecht nach oben, wobei er den obersten Punkt mit a bezeichnet, was zeigen soll, dass es sich um den Mittelpunkt a handelt. Auf diese Linie setzt er über den Kreis eine waagerechte Linie, dessen Endpunkte er mit cd bezeichnet. Von dort an teilt er die senkrechte Linie in 24 gleiche Teile. Nun zieht er senkrechte Linien von den Spiralpunkten 1, 2, ... senkrecht nach oben bis auf die Höhe der Ziffer auf der Senkrechten. Als nächstes verbindet Dürer diese Senkrechte mit der Ziffer auf der Mittelsenkrechten über eine Waagerechte. Diese Punkte werden mit den gleichen Ziffern, wie auf der Mittelsenkrechten versehen. Nun verbindet er alle diese Punkte mit einer Linie und erhält eine Spiralkostrukion, welche sich in den Raum zieht. Im nächsten Bild hat Dürer diese Spirale herausgezeichnet. Eine Abwandlung der Mittelsenkrechteneinteilung erfolgt über die Dreieckskonstruktion mit Kreisbogen. Diese Kosntruktion wurde in Konstrukion 3 erklärt. Er nimmt die Einteilung von 24 gleichen Teilen auf dem Kreisbogen vor und verbindet diese mit der einen Dreiecksseite vom Mittelpunkts des Kreisbogens. Mit dieser Einteilung ist es Möglich die Mittelsenrechte der Spirale anders einzutielen, was zu einer anderen Form führt.

Anmerkung: Der letzte beschriebene Kreisbogen ist nicht nötig, da keine genaue Teilung vor lag. Ebenfalls zog er die beiden waagerechten Linie, die im Bild 6 zu sehen sind, weil er diese Konstruktion als Kunstwerk auf einem Kapitel sah.

Spiralkonstruktion 15 von Dürer
Abbildung 15:
D ß ist der schneck auß dem grund auf gezogen/mit allen notwendigen linien drauß er gemacht wirdet.
Das ist die Spirale aus dem Grundriß in den Raum gezogen, mit allen notwendigen Konstruktionslinien.

Abbildung 16:

Spiralkonstruktion 16 von Dürer
hie sichfinden schneckenbloß Auß disem dreangel.a.b.c ist die lini.a.b.darauß die Schnecke lini geteilt gemacht.
Hier ist die reine Schneckenlinie bzw. Spirale. Aus dieser Dreieckskonstruktion abc wird die Linie ab zum Teilen der Schnecke konstruiert.

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