Internet-Projekt für Theoretische Mathematik

Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Dieses Dokument wurde während der Pojektwoche duch Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener des Beruflichen Gymnasiums für Technik "Julius Weisbach" erstellt.

1. Was ist eine Spirale?

1.4 Logarithmische Spirale

Bei der logarithmischen Spirale wächst der Radius expotentiell mit dem Polarwinkel und umgekehrt hängt der Polarwinkel vom Radius ab. In Polarkoordinaten angegeben lautet die Gleichung: r=r0*ea*phi, wobei a und r0 jede reelle Zahl außer Null sein können.

Der Faktor r0 ist konstant und entspricht dem Radius eines Anfangspunktes auf der Polarachse. Von diesem Punkt aus verlaufen die Windungen für Positive und negative Polarwinkel nach außn und nach innen. Mit wachsender Entfernung vom Zentrum nimmt dabei der Windungsabstand zu. Der Radius entwickelt sich über den gesamten Definitionsbereich streng monoton. Logarithmische Spiralen bestehen deshalb nur aus einem Ast, dessen Drehsinn vom Vorzeichen des Parameters a abhängt. Der Pol als asymptotischer Punkt wird in unzähligen, immer enger werdenden Windungen umrundet.

Gleichung: r = e^(a*phi) ; (a > 0)
Definitionsbereich: IR
Tangentenwinkel gamma = arctan 1/a
Flächenelement: dA = 1/2*e^(a*phi) d phi
Bogenelement: ds = sqrt ( 1 + 1/a² ) dr
Krümmungsradius: rho = r * sqrt ( 1 + a² )

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