Internet-Projekt für Theoretische Mathematik

Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Dieses Dokument wurde während der Pojektwoche duch Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener des Beruflichen Gymnasiums für Technik "Julius Weisbach" erstellt.

1. Was ist eine Spirale?

1.3 Archimedische Spirale - Tangentenkonstruktion

Die Tangentenkonstruktion an die archimedischen Spirale:

Um die Tangente an der Spirale zu konstruieren verwendet Archimedes folgenden Satz:

"Wenn eine Gerade die Spirale erster Umdrehung im Schnittpunkt mit der Leitlinie berührt und im festen Endpunkt des rotierenden Halbstrahls das Lot auf der Leitlinie errichtet wird, so weit, bis dieses die Tangente schneidet, so behaupte ich, dass dieses Lot [die Subtangente AG] gleich ist der Peripherie des Kreises." (aus "Spiralen")

Also um die Tangente am Punkt F zu erzeugen, fällt man im ersten Schritt im Punkt A das Lot zur "Leitlinie" AF, welche gleichzeitig als Radius eines gedachten Kreises angesehen wird. Auf dieses Lot wird die Länge abgetragen, welche dem Umfang des gedachten Kreises entspricht. Es entsteht die Strecke AG, welche also die Länge 2*pi*AF hat. Um nun die Tangente am Punkt F zu konstruieren, zieht man eine Gerade durch die Punkte F und G.

Bei dieser Konstruktionsvariante ist es allerdings nicht möglich die Tangente bzw. die Subtangente nur mit Zirkel und Lineal zu zeichnen. Es ist immer eine Berechnung notwendig, um den Punkt G zu ermitteln.


François Viéte über die Lage der Tangente:

Bei der Tangentenkonstruktion von François Viéte ist es möglich die Tangente in jedem beliebigen Kurvenpunkt anzugeben und sie relativ einfach ohne Berechnungen zu zeichnen. Jedoch ist diese Variante nur eine Näherungskonstruktion.

"Trägt man am Radius zum Punkt D der Spirale nach beiden Seiten den gleichen, nicht allzu großen, konstruierbaren Winkel ab und erhält zwei weitere Spiralpunkte G und H, so fällt die äußere Winkelhalbierende des Dreiecks GDH bei D beinahe auf die Spiraltangente in D." (aus "Spiralen")

Mit anderen Worten:
Um näherungsweise eine Tangente am Punkt D zu konstruieren, trägt man an der Strecke BD, welche die Verbindung zwischen dem Spiralzentrum (B) und einem Punkt (hier der Punkt D) auf der Spirallinie darstellt, nach beiden Seiten den gleichen nicht allzu großen beliebigen Winkel ab. Man erhält auf der Spirallinie die Punkte G und H. Im nächsten Schritt werden zwei Geraden, g1 durch die Punkte D und G und g2 durch die Punkte D und H, konstruiert. Nun bildet man die Winkelhalbierende zwischen den beiden Geraden und erhält somit "beinahe" die Tangente am Punkt D.


Die Tangentenlage nach Pappos von Alexandria:

Beim Erzeugen einer archimedischen Spirale bis zum Punkt (r,phi), betrachtet er die Schraubenlinie, die sich im konstanten Abstand r um ihre Achse windet und beim Erreichen des Winkels phi die Höhe r hat. In jedem Punkt der Schraubenlinie kann man sofort die Tangente angeben. Um von der Schraubenlinie zur ebenen Spirale, vom Zylinder zur Ebene, zu gelangen benutzt Pappos von Alexandria einen Kegel mit dem Öffnungswinkel pi/2, einer Achse, die mit der des Zylinders zusammenfällt und einer Kegelspitze, die senkrecht auf das Zentrum der Ebene trifft. Weil der Öffnungswinkel des Kegels ein rechter ist (also pi/2) und somit das Dreieck aus Kegelkante, Zylinderkante und Ebene ein gleichseitig rechtwinkliges ist, entsprechen die Höhenunterschiede von Punkten auf dem Zylinder gerade den Abstandsunterschieden vom Zentrum in der Ebene. Die Tangente an die Schraubenlinie bildet im Bereich vom Berührungspunkt mit der Schraubenlinie bis zum Schnittpunkt mit der Basisebene eine Strecke mit der Länge r*phi. Sie steht unter dem Winkel beta=arccot*phi zur Basisebene. Die Tangente der Kegelspirale liegt mit der der Schraubenlinie in einer Ebene. Dadurch, dass sie zusätzlich eine Radialkomponente hat, beträgt der Abstand der beiden Geraden beim Schnitt mit der Basisebene gleich r. Projiziert man die Tangente an die Kegelspirale auf die Basisebene, so entsteht die Tangente an die ebene Spirale.

"Die Subtangente einer archimedischen Spirale im Punkt (r,phi) hat die Länge r*phi eines Kreisbogens mit dem Radius r und dem Winkel phi." (aus "Spiralen")

Pappos von Alexandria bezieht sich beim ermitteln der Tangente an der ebenen Spirale auf einen Zylinder und einen Kegel, also erreicht sein Ziel über Darstellungen an Körpern. Archimedes gelang auch zu der gleichen Erkenntnis, wobei er hingegen nur Überlegungen in der Ebene anstellte.

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