PANOPTIMUM

Symmetrie und Regelmäßigkeit sind in der Formenvielfalt der Natur häufig zu finden. Wie kommen sie zustande? Warum zum Beispiel haben Planeten Kugelgestalt und nicht die Form von Würfeln oder Polyedern wie die Kristalle? Gibt es ein universelles Prinzip, das die Gestaltbildung in der Natur erklären würde?

PANOPTIMUM ist eine Art Panoptikum natürlicher Strukturen in Buchform und zugleich eine Einführung in mathematische Optimumprinzipe, geschrieben von zwei Mathematikprofessoren, die den Leser in ein wissenschaftliches Spiel mit Minimalflächen hineinziehen. Nicht mit Formeln, sondern am Beispiel der Seifenhäutchen - der physikalischen Modelle für Minimalflächen - erläutern Stefan Hildebrandt und Anthony Tromba einen Zweig der Mathematik, der sich aus der Variationsrechnung entwickelt hat. Die historischen Wurzeln reichen ins 17. Jahrhundert zurück und lassen sich in einer einfachen Grundfrage zusammenfassen: Wie muß eine Struktur gestaltet werden, damit eine bestimmte Eigenschaft einen maximalen oder minimalen Wert hat?

Diese Probleme waren nicht neu - bereits Kepler hatte sich gefragt, ob Bienen ihre Waben vielleicht deshalb hexagonal bauen, weil dann der Wachsverbrauch am kleinsten ist; und das Problem, eine möglichst große Fläche mit einem Faden gegebener Länge abzustecken, findet sich bereits in Vergils Aeneis - wo es von der Königin Dido gelöst werden muß. Im 17. Jahrhundert begann man jedoch, allgemeine mathematische Optimumsprinzipe als Erklärung heranzuziehen: Nach dem Fermatschen Prinzip ist der kürzeste Verbindungsweg zwischen zwei gegebenen Punkten gerade der Weg, auf dem sich das Licht ausbreiten würde. Das Prinzip der kleinsten Wirkung von Maupertius unterstellt, daß die Natur so sparsam und wirkungsvoll wie möglich vorgeht. Hier spiegelt sich die Leibnizsche Vorstellung von einem "Optimumprinzip" in einer Welt wider, die von Gott als "beste aller möglichen Welten" geschaffen sei.

Die Frage nach einem universellen Prinzip, das die Strukturbildung in der Natur erklären kann, eröffnet heute reizvolle Anwendungen in der Mathematik - zum Beispiel werden Flächen kleinsten Inhalts untersucht, die man in eine gegebene Begrenzung einspannen kann. Wie viele davon es für eine geschlossene Kurve gibt, ist noch immer ungelöst; klar ist nur, daß es zumindest eine geben muß. Aber Versuche mit Seifenlauge und Drahträhmchen führen zu immer neuen Gebilden aus Seifenhäutchen, in denen die mathematischen Grundmuster des Vollkommenen für kurze Zeit Wirklichkeit werden.