Der Johnson-Körper J12

Elementare Eigenschaften

Bei diesem Johnson-Körper handelt es sich um einen aus zwei Tetraedern zusammengesetzten Körper. Er wird daher auch eine dreieckige oder trigonale Dipyramide genannt. Die Dreiecksfläche, an denen die beiden Tetraeder zusammengesetzt wurden, bezeichnet man auch als Grundfläche der Dipyramide, die beiden Ecken, die nicht in dieser Grundfläche liegen, als ihre Spitzen.

Die Oberfläche besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken derselben Kantenlänge a, es handelt sich also um ein Deltaeder. Der Körper hat fünf Ecken und neun Kanten.

Symmetrien

Durch die beiden Spitzen verläuft eine dreizählige Symmetrieachse, durch die Grundfläche eine Spiegelebene. Daneben gibt es noch drei weitere Spiegelebenen durch die Drehachse und jeweils eine Ecke der Grundfläche und drei Drehachsen der Zähligkeit 2 jeweils durch eine Ecke der Grundfläche und die Seitenmitte der gegenüberliegenden Kante der Grundfläche. Die Symmetriegruppe von J12 ist daher die zwölfelementige Gruppe D3h, also die Diedergruppe D3 erweitert um eine horizontale Spiegelung.

Metrische Daten

Das Volumen ergibt sich als doppeltes Tetraedervolumen zu

V = sqrt(2)/6*a3

die Oberfläche zu

O = 3*sqrt(3)/2*a2.

Eine Umkugel existiert nicht.

Elementare Berechnungen ergeben den Radius der Inkugel zu

r = sqrt(5/3)/4*a.

Die Höhe ist gleich der doppelten Höhe des Tetraeders

h = 2/3*sqrt(6)*a.