Der Johnson-Körper J2

Elementare Eigenschaften

Bei diesem elementaren Johnson-Körper handelt es sich um eine senkrechte Pyramide mit pentagonaler Grundfläche. Alle Kantenlängen sind gleich, daher besteht die Oberfläche aus einem regelmäßigen Fünfeck und fünf gleichseitigen Dreiecken derselben Kantenlänge a. Der Körper hat sechs Ecken und zehn Kanten.

Symmetrien

Es gibt eine Symmetrieachse der Zähligkeit 5. Sie verläuft durch die Spitze der Pyramide und den Mittelpunkt der Grundfläche. Durch diese Achse verlaufen fünf Spiegelebenen, je eine durch eine Ecke der Grundfläche und die ihr gegenüberliegende Kante. Die Symmetriegruppe von J2 ist daher die zehnelementige Gruppe C5v, also die Drehgruppe C5 erweitert um eine vertikale Spiegelung.

Metrische Eigenschaften

Für die Oberfläche aus fünf gleichseitigen Dreiecken und einem regelmäßigen Fünfeck ergibt sich

O = (5*sqrt(3) + sqrt(25 + 10*sqrt(5)))/4*a2.

Die Höhe h bildet zusammen mit dem Umkreisradius R des Fünfecks und einer Seitenkante der Länge a ein rechtwinkliges Dreieck, so daß gilt

h2 = a2 - R2.

Mit R = sqrt(50 + 10*sqrt(5))/10*a erhält man hieraus

h = sqrt(50 - 10*sqrt(5))/10*a.

Daher ergibt sich für das Volumen

V = (5 + sqrt(5))/24*a3.