Der Johnson-Körper J3

Elementare Eigenschaften

Bei diesem elementaren Johnson-Körper, der sogenannten Dreieckskuppel, handelt es sich um ein halbiertes Kuboktaeder. Er läßt sich vom Mittelpunkt seiner Umkugel, der mit dem Mittelpunkt der sechseckigen Grundfläche zusammenfällt, aus zusammensetzen aus vier Tetraedern und drei quadratischen Pyramiden, wodurch sich sein Volumen aus den Volumina dieser Teilkörper leicht berechnen läßt. Die Oberfläche besteht aus einem regelmäßigen Sechseck, vier gleichseitigen Dreiecken und drei Quadraten derselben Kantenlänge a. Der Körper hat neun Ecken und 15 Kanten

Symmetrien

Es gibt eine Symmetrieachse der Zähligkeit 3. Sie verläuft durch die Mittelpunkte der Sechsecksfläche und der dazu parallelen Dreiecksfläche. Durch diese Achse verlaufen drei Spiegelebenen, je eine durch zwei gegenüberliegende Seitenmitten der Grundfläche. Die Symmetriegruppe von J3 ist daher die sechselementige Gruppe C3v, also die Drehgruppe C3 erweitert um eine vertikale Spiegelung.

Metrische Eigenschaften

Das Volumen ergibt sich zu

V = 5/6*sqrt(2)*a3

und der Radius der Umkugel ist

R = a.

Für die Oberfläche aus einem regulären Sechseck, vier gleichseitigen Dreiecken und drei Quadraten ergibt sich

O = (6 + 5*sqrt(3))/2*a2.

Eine Inkugel existiert nicht.

Die Höhe h, also der Abstand zwischen der Grundfläche und dem dazu parallelen gleichseitigen Dreieck, ist gleich der Höhe eines (hier auf dem Kopf stehenden) Tetraeders der Kantenlänge a

h = sqrt(6))/3*a.