Der Johnson-Körper J31

Elementare Eigenschaften

Dieser Johnson-Körper ist wie die gerade fünfseitige Doppelkuppel aus zwei Fünfeckskuppeln zusammengesetzt. Er hat daher dieselbe Oberfläche und dasselbe Volumen wie diese Doppelkuppel. Da beide Fünfeckskuppeln aber um 36 Grad gegeneinander verdreht sind, wird er verdrehte fünfseitige Doppelkuppel genannt.

Seine Oberfläche besteht aus zwei regelmäßigen Fünfecken, zehn gleichseitigen Dreiecken und zehn Quadraten derselben Kantenlänge a. Er hat zwanzig Ecken und 40 Kanten.

Symmetrien

Durch die Mittelpunkte der beiden Fünfecksflächen verläuft eine fünfzählige Drehachse. Außerdem verlaufen senkrecht dazu, durch je zwei gegenüberliegende Ecken der Grundflächen der beiden Kuppeln insgesamt fünf zweizählige Drehachsen. Schließlich gibt es noch fünf Spiegelungsebenen, die durch die fünfzählige Drehachse und jeweils in der Mitte zwischen zwei benachbarten zweizähligen Drehachsen verlaufen. Die Symmetriegruppe von J31 ist daher die zwanzigelementige Gruppe D5d, also die Diedergruppe D5 erweitert um eine diagonale Spiegelung.

Metrische Eigenschaften

Die Oberfläche ergibt sich aus zwei regulären Fünfecken, zehn Quadraten und zehn gleichseitigen Dreiecken zu

O = (10 + 5*sqrt(3)/2 + sqrt(25 + 10*sqrt(5))/2)*a2.